Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-502

piątek, 31 stycznia 2014

Własności ciągu arytmetycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu arytmetycznego

Własności ciągu arytmetycznego




Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do poprzedniego tej samej liczby r. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny nazywamy ciągiem liczbowym, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stała dla danego ciągu.
Ciąg arytmetyczny może być ciągiem nieskończonym lub skończonym, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.
Jeżeli ciąg  (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to z ogólnie z definicji mamy, że an+1-an=r, tzn. w ciągu arytmetycznym różnica miedzy dowolnym wyrazem ciągu i wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza jest stała.
Można zauważyć, że każdy z wypisanych wyrazów jest sumą wyrazów poprzedniego i pewnej wielokrotności różnicy r. Przy czym liczba różnic jest o jeden mniejsza od wskaźnika porządkowego ciągu. To spostrzeżenie pozwala na sformułowanie twierdzenia: 
Dla każdego nϵN₁ an = a1 + (n-1) · r.


Własności ciągu arytmetycznego:


Każdy wyraz ciągu arytmetycznego, poczynając od wyrazu drugiego, jest średnią arytmetyczną jego dwóch wyrazów (wyrazów poprzedniego i następnego) i obliczamy w następujący sposób:

Własności ciągu arytmetycznego



Własności ciągu arytmetycznego


Dowolny wyraz an ciągu arytmetycznego (an) dla każdego nϵN1 można przedstawić w postaci sumy wyrazu ak ciągu arytmetycznego i iloczynu (n-k) · r, tzn. an = ak + (n-k) · r, gdzie k+ (n-k) = n.

Własności ciągu arytmetycznego











Suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jednakowo odległych od pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu arytmetycznego jest stała. Wniosek jest prawdziwy dla każdego skończonego ciągu arytmetycznego.
W skończonym ciągu arytmetycznym (an) suma wyrazów jednakowo odległych od początku (wyraz k-ty od początku ak) i końca (wyraz k-ty od końca an-k-1) jest stała i równa sumie wyrazów pierwszego i ostatniego (a1 + an).
Dowód:
an = a1 + (n-1) · r
ak = a1 + (k-1) · r
an-k+1 = a1 + [(n-k+1)-1] · r = a1 + [n-k+1-1] · r = a1 + (n-k) · r

ak + an-k+1 = [a1 + (k-1) · r] + [a1 + (n-k) · r]
ak + an-k+1 = [a1 + kr - r] + [a1 + nr – kr]
ak + an-k+1 = a1 + kr - r + a1 + nr – kr
ak + an-k+1 = a1  - r + a1 + nr
ak + an-k+1 = a1  + a1 + nr – r
ak + an-k+1 = a1  + a1 + (n – 1) · r
ak + an-k+1 = a1  + [a1 + (n – 1) · r]
ak + an-k+1 = a1  + an
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa jest iloczynowi liczby wyrazów przez średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i ostatniego:
Sn = [(a1 + an)/2] · n





Wyprowadzony wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można napisać z innej postaci. 
Ponieważ an = a1 + (n-1) · r, więc:
Sn = [(a1 + an)/2] · n
Sn = [(a1 + a1 + (n-1) · r)/2] · n
Sn = [(2a1 + (n-1) · r)/2] · n



Własności ciągu arytmetycznego




Suma częściowa ciągu arytmetycznego określa sumę n początkowych kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Z sumy częściowej ciągu arytmetycznego można obliczyć kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w sposób następujący:

Własności ciągu arytmetycznego




Sprawdź także podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego (więcej)


Post nr 357

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.