Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub post nr 1-498

czwartek, 1 maja 2014

Własności ciągu geometrycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego






Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz oprócz wyrazy pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę samą liczbę q. Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym stosunek dowolnego wyrazu ciągu do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały dla danego wyrazu.
Ciąg geometryczny może być nieskończony lub skończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.
Przyjmujemy, że ciąg (a1, 0, 0, 0, …) jest ciągiem geometrycznym, gdzie a1≠0 jest pierwszym wyrazem oraz q=0.
Jeśli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q≠0, to dla każdego nϵN₁,
an = a1 · qn-1

Własności ciągu geometrycznego
Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego




Z powyższego twierdzenia wynika, ze wyrazy an-1 i an+1 mają ten sam znak oraz
|an| = √(an-1 · an+1). W szczególności, jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie prawdziwy jest wniosek:
Jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to każdy wyraz ciągu, począwszy od drugiego, jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego tzn. an = √( an-1 · an+1).

Każdy wyraz ciągu geometrycznego (an) z wyjątkiem wyrazu pierwszego (gdy ciąg jest skończony – ostatniego) spełnia warunek: Dla każdego nϵN1  an2 = an-1 · an+1.

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego
Liczbę q = const. nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Obliczamy poprzez podzielenie dowolnego wyrazu przez wyraz poprzedzający, począwszy od wyrazu drugiego. Można zauważyć, że wyrazy ciągu geometrycznego są iloczynami wyrazu pierwszego i pewnej potęgi ilorazu q, przy czym wykładnik, do którego podniesiono q, jest o jeden mniejszy od wskaźnika porządkowego wyrazu.
Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego


Suma częściowa ciągu geometrycznego określa sumę n początkowych kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Z sumy częściowej ciągu geometrycznego można obliczyć kolejne wyrazy ciągu geometrycznego w sposób następujący:

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego



Wzory na sumę częściową ciągu geometrycznego można wykazać indukcyjnie.

Twierdzenie można udowodnić, stosując zasadę indukcji matematycznej (założenie indukcyjne, teza indukcyjna, dowód tezy indukcyjnej).

1. Sprawdzamy prawidłowość twierdzenia dla n=1
2. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k. Wykazać należy, że twierdzenie jest prawdziwe dla  n=k+1
Dowód tezy indukcyjnej. Twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z prawdziwości twierdzenia dla n=kϵN₁ wynika prawdziwość dla n=k+1. W myśl zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdego nϵN₁.


Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego
 Dowód indukcyjny powyższych wzorów na sumę częściową ciągu geometrycznego.
Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego








Monotoniczność ciągu: Ponieważ ciągi są funkcjami, więc analogicznie jak w przypadku funkcji możemy badać monotoniczność ciągów, korzystając z definicji funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej, stałej.
Ciąg (an) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego.  Dla każdego n
ϵN  an+1 – an > 0.
Ciąg (an) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego lub równy 0.  Dla każdego n
ϵN   an+1 – an ≥ 0.
Ciąg (an) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedzającego. Dla każdego n
ϵN   an+1 – an < 0.
Ciąg (an) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedzającego lub równy 0.  Dla każdego n
ϵN   an+1 – an ≤ 0.
Ciąg (an) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz jest równy (identyczny).  Dla każdego n
ϵN   an+1 – an = 0.






Sprawdź także podstawowe wzory i własności ciągu arytmetycznego (więcej)


Post nr 414

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.