Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie sinusów
Wyprowadzamy
związki między bokami i kątami dowolnego trójkąta.
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć na trzy sposoby korzystając ze wzoru na pole trójkąta, które jest równe połowie długości iloczynu długości boków zawartych między kątem i miarą kąta zawartego między tymi bokami.
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć na trzy sposoby korzystając ze wzoru na pole trójkąta, które jest równe połowie długości iloczynu długości boków zawartych między kątem i miarą kąta zawartego między tymi bokami.
Porównujemy pola otrzymując związki między bokami a sinusami kątów w tym trójkącie.
Trójkąt BCO
jest trójkątem równoramiennym, bo |CO|=|OB|=R, gdzie R to promień okręgu
opisanego na tym trójkącie, |∡COD|
= α. Wynika
z własności kąta środkowego i wpisanego opartego na tym samym łuku BC.
W każdym trójkącie stosunek długości boków trójkąta do
sinusów kątów przeciwległych tym bokom jest stały i równa się średnicy koła
opisanego na tym trójkącie, tzn.: a/sin
α =
b/sinβ = c/sinγ = 2R
Wzór na pole trójkąta ABC,
gdy: |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a oraz R jest długością promienia koła opisanego na
tym trójkącie wyznaczamy w sposób następujący i zapisujemy S ∆ ABC = abc/4R.
Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać dowolne trójkąty,
gdy znane są:
- długości dwóch boków trójkąta oraz miara jednego z kątów leżących naprzeciw jednego z danych boków
- miary dwóch kątów trójkąta oraz długość jednego z boków
- długość promienia koła opisanego na trójkącie oraz długość dwóch boków lub miary dwóch kątów.
Obliczanie długości boków oraz miar kątów w trójkącie nazywamy rozwiązywaniem trójkąta.
Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie cosinusów (więcej)
- długości dwóch boków trójkąta oraz miara jednego z kątów leżących naprzeciw jednego z danych boków
- miary dwóch kątów trójkąta oraz długość jednego z boków
- długość promienia koła opisanego na trójkącie oraz długość dwóch boków lub miary dwóch kątów.
Obliczanie długości boków oraz miar kątów w trójkącie nazywamy rozwiązywaniem trójkąta.
Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie cosinusów (więcej)
Post nr 415
