Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie sinusów
Wyprowadzamy
związki między bokami i kątami dowolnego trójkąta.
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć na trzy sposoby korzystając ze wzoru na pole
trójkąta, które jest równe połowie długości iloczynu długości boków zawartych między kątem i miarą kąta zawartego między tymi bokami.
Porównujemy pola otrzymując związki między bokami a sinusami kątów w tym trójkącie.
Trójkąt BCO
jest trójkątem równoramiennym, bo |CO|=|OB|=R, gdzie R to promień okręgu
opisanego na tym trójkącie, |∡COD|
= α. Wynika
z własności kąta środkowego i wpisanego opartego na tym samym łuku BC.
W każdym trójkącie stosunek długości boków trójkąta do
sinusów kątów przeciwległych tym bokom jest stały i równa się średnicy koła
opisanego na tym trójkącie, tzn.: a/sin
α =
b/sinβ = c/sinγ = 2R
Wzór na pole trójkąta ABC,
gdy: |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a oraz R jest długością promienia koła opisanego na
tym trójkącie wyznaczamy w sposób następujący i zapisujemy S ∆ ABC = abc/4R.
Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać dowolne trójkąty,
gdy znane są:
- długości dwóch boków trójkąta oraz miara jednego z kątów leżących naprzeciw
jednego z danych boków
- miary dwóch kątów trójkąta oraz długość jednego z boków
- długość promienia koła opisanego na trójkącie oraz długość dwóch boków lub
miary dwóch kątów.
Obliczanie długości boków oraz miar kątów w trójkącie nazywamy rozwiązywaniem trójkąta.
Rozwiązywanie trójkąta
poprzez twierdzenie cosinusów (więcej)
Post nr 415
Brak komentarzy:
Publikowanie komentarza