Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Kwadrat wpisany w kwadrat

Kwadraty wpisany ciągiem w kwadrat


W kwadrat 1 x 1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Następnie w otrzymany kwadrat n1 x n1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Czynność powtarzano wiele razy. Ile wynosi pole kwadratu n2013 x n2013 jeśli czynność powtórzymy 2013 razy?

Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b1, b2, b3, … korzystając z własności ciągu geometrycznego:
b0=20
b1=2-1/2
b2=2-1
b3=2-3/2
b4=2-2
b5=2-5/2
b6=2-3
b7=2-7/2
b8=2-4
b9=2-9/2
b10=2-5

Wzór na wyraz ogólny ciągu  an=2-n/2
zatem boki odpowiednich kwadratów wpisanych mają odpowiednio długości:
20, 2-1/2, 2-1, 2-3/2, 2-2, 2-5/2, 2-3, 2-7/2, 2-4, 2-9/2, 2-5, …
b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10, b11
zatem b2013=2-2013/2
P2013=(2-2013/2)2
P2013=2-2013
P2013=1/22013

lub
Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b1, b2, b3, … korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Zatem wszystkie nieparzyste wyrazy w liczniku ułamka mają wartość 20,5, w mianowniku ułamka kolejne mianowniki to naturalne potęgi liczby 2 zapisane dwukrotnie 21, 21, 22, 22, 23, 23, …
Nasza długość szukanego boku to 2013 wyraz tego ciągu, który możemy zapisać:

 b2013=20,5 : 21007 , 1007 bo 2013:2=1006,5, czyli przed 2013 wyrazem mamy 1006 par z odpowiednimi mianownikami 21, 21, 22, 22, 23, 23, …, zatem mianownik wyrazu 2013 należy do 1007 pary a liczba 1007 jest jednocześnie wykładnikiem tej potęgi.

Zatem pole naszego 2013 kwadratu wynosi
  P2013=(20,5 : 21007)2

 
Własności kwadratu wpisanego w kwadrat:
Jeśli w kwadrat wpiszemy kwadrat łącząc kolejno środki boków tego kwadratu to obwód wpisanego kwadratu jest równy sumie długości przekątnych tego kwadratu
L2=d2+d2


Jaką własność mają długości promieni kół wpisanych r i opisanych R na odpowiednich kwadratach? 
 b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10, b11


R0=b1, r0=b2

R1=b2, r1=b3

R2=b3, r2=b4

R3=b4, r3=b5

R4=b5. r4=b6

R5=b6, r5=b7

Post nr 67

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.