Kwadrat wpisany w kwadrat

Kwadraty wpisany ciągiem w kwadrat

 

W kwadrat 1 x 1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Następnie w otrzymany kwadrat n₁ x n₁ łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Czynność powtarzano wiele razy. Ile wynosi pole kwadratu n₂₀₁₃ x n₂₀₁₃ jeśli czynność powtórzymy 2013 razy?

Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b₁, b₂, b₃, … korzystając z własności ciągu geometrycznego:

b₀=2⁰
b₁=2^-1/2

b₂=2^-1

b₃=2^-3/2

b₄=2^-2

b₅=2^-5/2

b₆=2^-3

b₇=2^-7/2

b₈=2^-4

b₉=2^-9/2

b₁₀=2^-5

Wzór na wyraz ogólny ciągu  a_n=2^-n/2

zatem boki odpowiednich kwadratów wpisanych mają odpowiednio długości:

2⁰, 2^-1/2, 2^-1, 2^-3/2, 2^-2, 2^-5/2, 2^-3, 2^-7/2, 2^-4, 2^-9/2, 2^-5, …

b₀, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, b₇, b₈, b₉, b₁₀, b₁₁

zatem b₂₀₁₃=2^-2013/2

P₂₀₁₃=(2^-2013/2)²

P₂₀₁₃=2^-2013

P₂₀₁₃=1/2²⁰¹³

lub
Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b₁, b₂, b₃, … korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Zatem wszystkie nieparzyste wyrazy w liczniku ułamka mają wartość 2^0,5, w mianowniku ułamka kolejne mianowniki to naturalne potęgi liczby 2 zapisane dwukrotnie 2¹, 2¹, 2², 2², 2³, 2³, …

Nasza długość szukanego boku to 2013 wyraz tego ciągu, który możemy zapisać:

 b₂₀₁₃=2^0,5 : 2¹⁰⁰⁷ , 1007 bo 2013:2=1006,5, czyli przed 2013 wyrazem mamy 1006 par z odpowiednimi mianownikami 2¹, 2¹, 2², 2², 2³, 2³, …, zatem mianownik wyrazu 2013 należy do 1007 pary a liczba 1007 jest jednocześnie wykładnikiem tej potęgi.

Zatem pole naszego 2013 kwadratu wynosi
  P₂₀₁₃=(2^0,5 : 2¹⁰⁰⁷)²

 
Własności kwadratu wpisanego w kwadrat:
Jeśli w kwadrat wpiszemy kwadrat łącząc kolejno środki boków tego kwadratu to obwód wpisanego kwadratu jest równy sumie długości przekątnych tego kwadratu
L2=d2+d2


Jaką własność mają długości promieni kół wpisanych r i opisanych R na odpowiednich kwadratach? 
 b₀, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, b₇, b₈, b₉, b₁₀, b₁₁

R₀=b₁, r₀=b₂

R₁=b₂, r₁=b₃

R₂=b₃, r₂=b₄

R₃=b₄, r₃=b₅

R₄=b₅. r₄=b₆

R₅=b₆, r₅=b₇ …

Post nr 67