Miara kąta β

Wyznaczamy miarę kąta β:
I sposób
a) Obliczamy miarę kąta AED korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens
tg(∡ AED) = |AD|/|DE|
tg(∡ AED) = 6/5 = 1,2

|∡ AED| = 50^ᵒ 11’ 40’’ = 50,19^ᵒ

tg(50^ᵒ 11’ 40’’) ≈ 1,200000661647

b) Obliczamy miarę kąta FDC korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens
tg(∡ FDC) = |FC|/|CD|
tg(∡ FDC) = 5/6 = 0,8(3) = 0,833333333333...
|∡ FDC| = 39^ᵒ 48’ 20’’ = 39,81^ᵒ
tg(39^ᵒ 48’ 20’’) ≈ 0,833332873856

c) Obliczamy miarę kąta EGD korzystając z własności sumy miar kątów w trójkącie

|∡ AED|+|∡ FDC|+|∡ EGD| = 180^ᵒ
 50^ᵒ 11’ 40’’ + 39^ᵒ 48’ 20’’ + |∡ EGD| = 180^ᵒ
  90^ᵒ 00’ 00’’ + |∡ EGD|=180^ᵒ
 |∡ EGD| = 90^ᵒ 00’ 00’’

d) Obliczamy miarę kąta FGE=β korzystając z własności sumy miar kątów w kącie półpełnym
|∡ FGE| + |∡ EGD| = 180^ᵒ
|∡ FGE| + 90^ᵒ 00’ 00’’ = 180^ᵒ
|∡FGE| = β = 90^ᵒ 00’ 00’’= 90^ᵒ

II sposób

Przenosimy nasz kwadrat na kartezjański (prostokątny) układ współrzędnych przyjmując następujące współrzędne punktów:

A=(0,0)

B=(6,0)

C=(6,6)

D=(0,6)

E=(5,6)

F=(6,1)

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty AE oraz równanie prostej przechodzącej przez punkty DF, zatem:

Równanie prostej y_AE

6=5a+b =>  E=(5,6)
0=b,      => A=(0,0)
6=5a
a=6/5

y_AE=(6/5)x

Równanie prostej y_DF

6=b      => D=(0,6)
1=6a+b => F=(6,1)
1=6a+6
6a+6=1
6a=1-6
a=(-5/6)

y_DF=(-5/6)x+6

Z warunku prostopadłości sprawdzamy czy proste y_AE i y_DF względem siebie są prostopadłe, zatem:

y_{AE ⊥} y_DF <=> a_AE ∙ a_DF=-1

                                   6/5 ∙ (-5/6) = -1

                                   -1 = -1

                    L=P, proste y_AE i y_DF  względem siebie są prostopadłe.

Kąt β=90^ᵒ

Można również obliczyć z wektorów.
III sposób
Z własności kwadratu ABCD wiemy, że przekątne AC i BD przecinają się pod kątem 90^ᵒ. Przekątna AC została przesunięta o 1 jednostkę w lewo względem boku CD i oznaczono AE, przekątna BD została przesunięta o 1 jednostkę w górę względem BC i oznaczono DF. Powyższe przesunięcie jest translacją (wektor [1, 1]) i nie spowodowało zmiany kąta przecięcia się tych przekątnych AC i BD a odcinkami AE i DF. Miara kąta β=90^ᵒ


IV sposób
Jeśli iloczyn skalarny wektorów jest równy 0 to wektory względem siebie są prostopadłe, zatem:
|AE|=wektor v=[5, 6]
|DF|=wektor w=[6, -5]
a - iloczyn skalarny wektorów v, w
a=v ∙ w
a=[5, 6] ∙ [6, -5]
a=5 ∙ 6 + 6 ∙ (-5)
a=30-30
a=0

Iloczyn skalany wektorów i kąt między wektorami można obliczyć:
v ∙ w = |v| ∙ |w| ∙ cosβ
v ∙ w- iloczyn skalarny wektorów
|v| - długość wektora v
|w| - długość wektora w

Post nr 98