Ciąg geometryczny trójkątów prostokątnych - Fraktal Kwiat życia
W kwadracie połączono kolejno środki boków. Następnie w
nowym kwadracie połączono kolejno środki boków. Czynność powtarzano wiele razy.
Oblicz sumę pól trójkątów prostokątnych powstałych poprzez wpisywanie w
kwadraty kwadratu, gdzie kąt prosty tych
trójkątach to odpowiednio: wierzchołek kwadratu, środek kwadratu (patrz
rysunek).
Z podanych kolejno trójkątów prostokątnych utworzył się fraktal, nazwany "Kwiatem życia".
Z podanych kolejno trójkątów prostokątnych utworzył się fraktal, nazwany "Kwiatem życia".
Rozwiązanie:
Należy zauważyć, że pole drugiego trójkąta prostokątnego stanowi ½ pola trójkąta pierwszego. Pole trzeciego trójkąta prostokątnego stanowi ½ pola trójkąta drugiego lub ¼ pola trójkąta pierwszego. Pole czwartego trójkąta prostokątnego stanowi ½ pola trójkąta trzeciego lub 1/8 pola trójkąta pierwszego. Zatem niech:
Należy zauważyć, że pole drugiego trójkąta prostokątnego stanowi ½ pola trójkąta pierwszego. Pole trzeciego trójkąta prostokątnego stanowi ½ pola trójkąta drugiego lub ¼ pola trójkąta pierwszego. Pole czwartego trójkąta prostokątnego stanowi ½ pola trójkąta trzeciego lub 1/8 pola trójkąta pierwszego. Zatem niech:
2x1 = a
Jeśli n dąży do nieskończoności, to nieskończona ilość trójkątów prostokątnych tworzy pole równe ¼ pola kwadratu o boku długości a = 2x1. Granicą naszego ciągu jest ¼ na co wskazuje rysunek.
Post nr 311
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz