Spirala na kwadratach

Długość spirali i pole ćwierć kół wyznaczonych na kwadratach - Fraktal

 

Wyznaczyć długość spirali wykreślonej na kwadratach w taki sposób, że długość boku kwadratu jest zawsze dwa razy krótsza i jak wskazano na animacji. Obliczyć  sumę wszystkich pól ćwierć kół zaznaczonych kolejno kolorami (żółty, niebieski, żółty, niebieski, ...).

Należy zauważyć, że długość pierwszej spirali stanowi ¼ długości łuku koła o promieniu długości a, ponieważ kąt środkowy okręgu jest równy 90ᵒ. Długość drugiej spirali stanowi ¼ długości łuku koła o promieniu długości  ^a/₂.  Długość trzeciej spirali stanowi ¼ długości łuku koła o promieniu długości  ^a/₄.  Długość czwartej spirali stanowi ¼ długości łuku koła o promieniu długości  ^a/₁₆.  Zatem niech:

2r = 2a => r=a

Jeśli n dąży do nieskończoności, to długość spirali jest równa ½ długości łuku koła o promieniu a (gdzie a, to długość boku pierwszego kwadratu). Natomiast pole wszystkich ćwierć kół zaznaczonych kolorami (żółty, niebieski, żółty, niebieski, ...) stanowi ¹/₃ pola koła o promieniu a.

Post nr 312