Ciąg z pierwiastkami

Wyrazy ciągu arytmetycznego zapisane działaniami z pierwiastkami

 

Dane są cztery początkowe, kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć wartości tych wyrazów. Wykazać, że dla każdego nϵN₁ wyrazy ciągu (a_n) są liczbami naturalnymi podzielnymi przez 2.

Rozwiązanie: 

Wartości podpierwiastkowe należy sprowadzić do wzoru na kwadrat sumy  (a+b)² dwóch wyrażeń lub kwadrat różnicy (a-b)² dwóch wyrażeń a następnie skorzystać z własności √(a+b)² = |a+b| lub √(a-b)² = |a-b|. Po zapisaniu działań w wartości bezwzględnej należy określić znak modułu. Jeśli z działania wynika, że moduł jest ujemny, to po opuszczeniu wartości bezwzględnej należy zapisać wartość działania z przeciwnym znakiem tj.
|a+b| = a + b, dla a+b>0 i|a-b| = - a + b, dla a-b<0.

Wyrazy tego ciągu to: 2, 4, 6, 8, ...

Można wykazać, że dla każdego nϵN₁ wartości poszczególnych wyrazów ciągu (a_n) są liczbami naturalnymi podzielnymi przez 2.

Wyznaczamy wzory na poszczególne liczby podpierwiastkowe w kolejnych wyrazach ciągu:

Teraz możemy wykazać, że kolejne wyrazy ciągu (a_n) dla każdego nϵN₁ są liczbami naturalnymi podzielnymi przez 2:

Post nr 306