Pole obszaru DEF

Pole obszaru wyznaczonego między trzema stycznymi kołami

Trzy okrągłe sceny o promieniu długości r są styczne w taki sposób, że łącząc kolejno ich środki otrzymano trójkąt równoboczny o boku długości 2r. Wyznaczyć pole obszaru jaki pozostał pomiędzy tymi scenami.

Rozwiązanie:

I Wyznaczyć pole trójkąta równobocznego ABC o boku długości 2r

II Wyznaczyć sumę pól kół k(A, r), k(B, r) i k(C, r) czyli  P₁, P₂, P₃. Można zauważyć, że odpowiednio pola P₁, P₂, P₃ stanowią ¹/₆ pola koła o promieniu długości r. Miara kątów |ABC|, |BCA| i |BAC| jest równa 60^ᵒ. Zatem pola P₁, P₂, P₃ odpowiednich wycinków kół są równe i stanowią P₁=P₂= P₃=(60ᵒ/360ᵒ) ∙ π∙r². Zatem suma tych wycinków jest równa połowie pola koła o promieniu długości r, P₁+P₂+P₃=1/2∙ π∙r²

III Wyznaczyć pole obszaru utworzonego pomiędzy scenami (kołami). Należy pole trójkąta równobocznego ABC pomniejszyć o sumę trzech wycinków kół P₁+P₂+P₃. 

Post nr 316