Trójkąt prostokątny obraca się dookoła prostej zawierającej przeciwprostokątną
Trójkąt
prostokątny OBS o przyprostokątnych |OB|=15, |BS|=20 obraca się dookoła prostej
zawierającej przeciwprostokątną SO tego trójkąta. Wyznacz objętość i pole całkowite
powstałej bryły AOBS wiedząc, że |AE|+|BE|=2r.
Rozwiązanie:
10
Wyznaczamy długość wysokości SO z
twierdzenia Pitagorasa, |AO|2+|AS|2=|SO|2
lub |OB|2+|BS|2=|SO|2
20
Wyznaczamy długość promienia r korzystając z równości pól przekroju bryły. Pole
przekroju bryły składa się z dwóch pól trójkątów prostokątnych lub pola
deltoidu, wtedy wiadomo, że:
½ ∙|AS|∙|AO|
- pole ∆AOS
½ ∙|BS|∙|BO|
- pole ∆BOS
|AS|=|BS| i
|AO|=|BO|, zatem
½ ∙|AS|∙|AO|
+ ½ ∙|BS|∙|BO| = ½ ∙|AS|∙|AO| + ½ ∙|AS|∙|AO| = |AS|∙|AO|.
Pole
przekroju bryły można obliczyć z pola deltoidu AOBS, zatem PAOBS = ½
∙|AB|∙|SO| = ½ ∙2r∙|SO|= |SO|∙r.
Z równości
tych pól wynika, że |AS|∙|AO|=|SO|∙r
30
Objętość bryły składa się z objętości dwóch stożków VABS i VABO,
zatem:
VABS=1/3∙Pp∙|SE|
= 1/3∙πr2∙|SE|
VABO
=1/3∙Pp∙|OE| = 1/3∙πr2∙|OE|
VAOBS
=1/3∙Pp∙|SE| +1/3∙Pp∙|OE|
= 1/3∙πr2∙|SE|+
1/3∙πr2∙|OE|
=1/3∙πr2∙(|SE|+|OE|)
40
Pole powierzchni całkowitej bryły składa się z pól bocznych dwóch stożków
PbABS
i PbABO, zatem:
PbABS
=πr∙|AS|
PbABO
=πr∙|AO|
PcAOBS
= πr∙|AS|+ πr∙|AO|= πr∙(|AS|+|AO|).
Post nr 321
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz