Stożki złączone podstawami

Trójkąt prostokątny obraca się dookoła prostej zawierającej przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny OBS o przyprostokątnych |OB|=15, |BS|=20 obraca się dookoła prostej zawierającej przeciwprostokątną SO tego trójkąta. Wyznacz objętość i pole całkowite powstałej bryły AOBS wiedząc, że |AE|+|BE|=2r.

Rozwiązanie:

1⁰ Wyznaczamy długość wysokości  SO z twierdzenia Pitagorasa, |AO|²+|AS|²=|SO|² lub   |OB|²+|BS|²=|SO|²

2⁰ Wyznaczamy długość promienia r korzystając z równości pól przekroju bryły. Pole przekroju bryły składa się z dwóch pól trójkątów prostokątnych lub pola deltoidu, wtedy wiadomo, że:
½ ∙|AS|∙|AO| - pole ∆AOS
½ ∙|BS|∙|BO| - pole ∆BOS
|AS|=|BS| i |AO|=|BO|, zatem
½ ∙|AS|∙|AO| + ½ ∙|BS|∙|BO| = ½ ∙|AS|∙|AO| + ½ ∙|AS|∙|AO| = |AS|∙|AO|.
Pole przekroju bryły można obliczyć z pola deltoidu AOBS, zatem P_AOBS = ½ ∙|AB|∙|SO| = ½ ∙2r∙|SO|= |SO|∙r.
Z równości tych pól wynika, że |AS|∙|AO|=|SO|∙r

3⁰ Objętość bryły składa się z objętości dwóch stożków V_ABS i V_ABO, zatem:
V_ABS=¹/₃∙P_p∙|SE| = ¹/₃∙πr²∙|SE|
V_ABO =¹/₃∙P_p∙|OE| = ¹/₃∙πr²∙|OE|
V_AOBS =¹/₃∙P_p∙|SE| +¹/₃∙P_p∙|OE| = ¹/₃∙πr²∙|SE|+ ¹/₃∙πr²∙|OE| =¹/₃∙πr²∙(|SE|+|OE|)

4⁰ Pole powierzchni całkowitej bryły składa się z pól bocznych dwóch stożków
P_bABS i P_bABO, zatem:
P_bABS =πr∙|AS|
P_bABO =πr∙|AO|
P_cAOBS = πr∙|AS|+ πr∙|AO|= πr∙(|AS|+|AO|).

Post nr 321