Promień okręgu

Promień okręgu przechodzącego przez trzy środki okręgów stycznych zewnętrznie

Trzy okręgi o promieniach długości 3, 4, 5 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz promień okręgu przechodzącego przez środki A, B, C tych okręgów.

lub

Dany jest trójkąt o bokach długości 7, 8, 9. Wyznacz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie:

Jeśli chcemy sprawdzić jaki jest to trójkąt?

Trójkąt o bokach a, b, c (c - najdłuższy bok trójkąta) jest:

a) trójkątem ostrokątnym <=> a²+b²>c²

b) trójkątem prostokątnym <=> a²+b²=c²

c) trójkątem rozwartokątnym <=> a²+b²<c²

Jeśli chcemy wyznaczyć konstrukcyjnie promień okręgu opisanego na trójkącie, to należy wyznaczyć symetralne co najmniej dwóch boków.

Dla trzech okręgów stycznych zewnętrznie odległość ich środków jest równa sumie długości promieni okręgów o(A, 5), o(B, 4), o(C, 3). Wynika stąd, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki danych okręgów ma boki długości:

|AC|=r_A+ r_c=5+3=8=a

|BC|=r_C+ r_B=3+4=7=b

|AB|=r_B+ r_A=4+5=9=c.

I sposób:

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC należy obliczyć ze wzoru R=abc/4p, gdzie p=(a+b+c)/2.

II sposób:

1⁰ Korzystamy z twierdzenia cosinusów i wyznaczamy cosinus kąta ACB

2⁰ Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy wartość sinusa kąta ACB

3⁰ Korzystamy z twierdzenia sinusów i wyznaczamy długość promienia R okręgu opisanego na trójkącie ABC

Post nr 320