Pokazywanie postów oznaczonych etykietą Algorytmy. Pokaż wszystkie posty

Mnożenie pisemne

Mnożenie pisemne w tabeli - mnożenie hinduskie

Jak można wykonać mnożenie pisemne w łatwy i ciekawy sposób niż w standardowy sposób? Można zastosować metodę hinduską mnożenia.

1. W celu ułatwienia obliczeń mnożenie pisemne można przenieść na tabelkę kwadratową lub prostokątną np.
12345 · 1234 należy przygotować tabelkę 5x4
1234 · 12345 należy przygotować tabelkę 4x5
1234 · 1234 należy przygotować tabelkę 4x4
123 · 12 należy przygotować tabelkę 3x2

2. Następnie wszystkie kratki tabelki podziel na skos w prawą stronę.

3. W te kratki wpisujemy wyniki mnożenia liczby jednocyfrowej przez jednocyfrową. Wpisywać wyniki można w dowolny sposób tzn. wierszami, kolumnami lub raz wiesz, raz kolumna.

4. Następie dodajemy wszystkie liczby skośnie w dół. Na zasadzie, że wszystkie liczby należy zsypać w odpowiednie miejsce i wpisać wynik - cyfrę jedności, a cyfrę dziesiątek przenosimy do kolejnego skośnego pola zapisując na samym dole.

5. Tak postępujemy do ostatniego skośnego pola.

Metoda ta łączy także temat związany z przyporządkowaniem punktu, polami kwadratu i prostokąta. Zacznij stosować podaną metodę od łatwych przykładów.

Post nr 516

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia obliczane w tabeli

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń równy jest kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a+b)²=a²+2ab+b².

Do policzenia kwadratu sumy dwóch wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. Wyrażenie (a+b)² można policzyć wymnażając nawiasy (a+b)(a+b) bo (a+b)²=(a+b)(a+b).

Mnożenie nawiasów najlepiej policzyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:

- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie];

- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie].

Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej.

Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a-b)²=a²-2ab+b².

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę równy jest różnicy kwadratów tych wyrażeń (a-b)(a+b)=a²-b².

Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń jest następujący:

(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.

Do policzenia kwadratu sumy trzech wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia.

Mnożenie można obliczyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:

- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie];

- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie].

Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej.

Kwadrat sumy trzech wyrażeń (a+b+c)² można policzyć z kwadratu sumy dwóch wyrażeń stosując wzór skróconego mnożenia [(a+b)+c]² lub [a+(b+c)]², gdzie wyrażenia w nawiasie (...) traktujemy jako jedno wyrażenie. Trzy wyrażenia sprowadzić należy do dwóch wyrażeń.
Kwadrat sumy trzech wyrażeń można obliczyć z wyprowadzonych poniżej wzorów skróconego mnożenia.

Wzory na kwadrat sumy/różnicy trzech wyrażeń. Kolorem czerwonym zaznaczono, który znak jest brany pod uwagę do wzoru skróconego mnożenia, a kolorem niebieskim i zielonym odpowiednio wyraz pierwszy i drugi podanego wyrażenia (a+b+c)². Stosujemy wtedy wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia jak sama nazwa wskazuje skracają nam mnożenie. Dlatego warto ich się nauczyć i stosować. Jednak już kwadrat trzech wyrażeń lub kwadrat czterech wyrażeń we wzorach skróconego mnożenia ma wiele składników. W tym celu tabela ułatwi policzenie w taki sam sposób jak ze wzoru skróconego mnożenia. Ponadto obliczając w tabeli nie można pominąć żadnego wyrazu.

W tabeli można także policzyć mnożenie nawiasów.

Post nr 499

Przekątne w wielokącie wypukłym i wklęsłym

Jak wyznaczyć przekątne w wielokącie wypukłym i wklęsłym i jak je policzyć?

Liczba przekątnych w wielokącie.
Przekątna wielokąta (n-kąta) jest to odcinek łączący dwa dowolne wierzchołki wielokąta nienależące do jednego boku.

Przekątne w wielokącie wypukłym i wklęsłym

Liczba przekątnych n-kąta; każdy (również wielokąt wklęsły) możemy obliczyć ze wzoru:

Ile przekątnych ma 12-kąt?

Jak wyznaczyć wzór na liczbę przekątnych w wielokącie?

Weźmy przykład z 12-kątem oraz liczbę przekątnych z poszczególnych wierzchołków tego 12-kąta.

Zatem: 9, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Ogólnie:

- z każdego wierzchołka n-wielokąta można poprowadzić (n-3) przekątnych
- mamy n-kąt. Należy zatem (n-3)n.
- iloczyn dzielimy przez 2 bo przekątne wracają (każda przekątna ma dwa końce).

Liczba przekątnych w wielokącie = [(n-3)n]\2

Przykład z 6-kątem:

Otwórz aplet
Włącz animację w panelu nawigacji >.

Post nr 466

Sprawdzanie czy liczba jest wymierna

Sprawdzanie czy liczba zapisana wyrażeniem zawierającym pierwiastki drugiego stopnia jest wymierna

Sprawdź czy podane wyrażenia zapisane za pomocą pierwiastków drugiego stopnia można zapisać za pomocą liczby wymiernej.

Rozwiązanie:
- wartość podanego wyrażenie z lewej strony oznaczamy jako wartość x
- lewą stronę podanego wyrażenia podnosimy do kwadratu
- otrzymaliśmy równanie w którym za wartość podanego wyrażenia podstawiamy x
- po podstawieniu równanie jest drugiego stopnia i wyznaczamy jego pierwiastki w liczbach naturalnych, które są dzielnikami naturalnymi liczby znajdującej się po prawej stronie wyrażenia. Można wyznaczyć tylko dodatni pierwiastek równania kwadratowego, który jest wynikiem.
- sprawdzamy dla jakiego x wyrażenia jest spełnione.

Post nr 439

Funkcja homograficzna

Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną i postaci kanonicznej na ogólną funkcji homograficznej

Algorytm I

Funkcja homograficzna - postać ogólna i kanoniczna

Algorytm II

Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną funkcji homograficznej i postaci kanonicznej na postać ogólną funkcji homograficznej.

Sprawdźmy wyprowadzony wzór na zamianę postaci ogólnej funkcji homograficznej na postać kanoniczną.
Należy sprawdzić czy wykresy funkcji homograficznej zapisane w postaci ogólnej i kanonicznej narysowane w układzie współrzędnych pokrywają się. Wtedy wiemy, że postać kanoniczna została prawidłowo wyznaczona.

I przykład - algorytm I

Wykres online

II przykład - algorytm I

Wykres online

III przykład - algorytm I

Wykres online

III przykład - algorytm II

Wykres online

IV przykład - algorytm I

Wykres online

IV przykład - algorytm II

Wykres online

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli i posiada on dwie asymptoty:

pionową $x= \frac{- d}{c}$ i poziomą $y= \frac{a}{c}$ .

Punkt $S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty,-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\infty)$ .
Funkcja jest:

przedziałami malejąca, gdy $ad - bc < 0$ oraz
przedziałami rosnąca, gdy $ad - bc > 0$ .

Wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - bc \neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

$\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}$ .

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y=\frac{bc-ad}{c^2x}$ o wektor $\vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}]$ .

Własności funkcji homograficznej.

Post nr 353

Strony

Szukaj na tym blogu