Równanie i nierówność liniowa z podwójną wartością bezwzględną

Równanie i nierówność z podwójną wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie liniowe z jedną niewiadomą i nierówność liniową z jedną niewiadomą z podwójną wartością bezwzględną.

1. ||x-5|-2|=1
2. ||x-5|-2|<1
3. ||x-5|-2|>1

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej
1. |x|=a <=> x=a  ∨ x=-a
2. |x|<a <=> x<a  ∧ x>-a
3. |x|>a <=> x>a  ∨ x<-a

Wykres online

   

Post nr 490

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze z pierwiastkami w podstawach

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania wykładniczego w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie:
- wyznaczamy dziedzinę równania D: x ϵ R

- wprowadzamy równanie pomocnicze względem t
- stosujemy metodę podstawienia pomocniczej t do równania wykładniczego
- wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego względem t
- wyznaczamy możliwe rozwiązania podstawiając do równania pomocniczego pierwiastki t
- sprawdzamy równanie dla wyznaczonych wartości x.

Rozwiązanie graficzne (pierwiastkami równania wykładniczego są te argumenty dla których funkcje przyjmują równe wartości, wykresy przecinają się w odpowiednim punkcie).

Sprawdzenie równania wykładniczego w sposób porównania lewej strony z prawą po podstawieniu w miejsce x otrzymanych wartości, dla x = -2 lub x = 2. 

 Wykres online

Post nr 478

Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Wiedząc, że a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które spełniają warunki takie, że: a²+b²=9 i a+b=1. Wyznacz wartość wyrażenia: a⁴+b⁴=?

Rozwiązanie:
Sposób I
- układy równań podnosimy do potęgi drugiej
- wyznaczamy zależności ab=-4, a⁴+b⁴=81-2a²b² z układów.
- obliczamy wartość wyrażenia a⁴+b⁴.

Sposób II
- sprowadzamy lewą stronę układów równań do wzoru na kwadrat dwumianu (wzór skróconego mnożenia) a²+b²=(a²+2ab+b²)-2ab, a⁴+b⁴=[(a²)²+2a²b²+(b²)²]-2a²b²
- wyznaczamy zależność ab=-4 z układu a²+b²=9.
- obliczamy wartość wyrażenia a⁴+b⁴.

Sposób III
- rozwiązujemy układ równań dowolną metodą: podstawiania
- wyznaczamy wartości a, b z równania kwadratowego
- obliczamy wartość wyrażenia a⁴+b⁴, wiedząc, że: a⁴+b⁴=(a²)²+(b²)².




Sprawdzenie układu równań:





Ilustracja graficzna rozwiązania układu równań:

Post nr 477

Układ równań wykładniczy i logarytmiczny

Rozwiąż układ równań wykładniczy i logarytmiczny w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

- jest to układ równań z dwiema niewiadomymi- doprowadzamy układ równań do układu równoważnego obliczając wartości liczbowe wyrażeń w pierwszym układzie
- wyznaczamy dziedzinę dla tych układów
- stosujemy metodę podstawiania i z pierwszego układu wyznaczamy wartość wyrażenia x, zatem wartość wyznaczoną podstawiamy do drugiego układ w miejsce wyrażenia x

- drugi układ równań doprowadzamy do najprostszej postaci stosując działania (wzory) na logarytmach. Warto przypomnieć:

* mnożenie logarytmów o różnych podstawach I 
* mnożenie logarytmów o różnych podstawach II

- obliczamy wartość y, z drugiego układu
- obliczamy wartość x=0, znając wartość y=0
- układ równań posiada jedno rozwiązanie i jest układem równań oznaczonych (niezależnych). Rozwiązaniem układu jest para liczby {x, y} = {4, 0}.

Rozwiązanie algebraiczne układu równań metodą podstawiania:

 

 Rozwiązanie graficzne układu równań:

 Wykres online

Sprawdzenie algebraiczne układu równań:

Sprawdź także jak rozwiązać nierówność wykładniczą i logarytmiczną w układzie (więcej).

Post nr 460

Równanie z modułem

Równanie wymierne z wartością bezwzględną

 

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania z wartością bezwzględną w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

- doprowadzamy równanie do prostszej postaci, które jest równorzędne do danego równania

- wyznaczamy dziedzinę D: x∈R\{-1}

- obliczamy miejsce zerowe modułu x= 1

- z definicji  wartości bezwzględnej mamy wartości, które należy podstawić do naszego równania w badanym przedziale
- rozwiązujemy równanie

- sprawdzamy rozwiązanie równianina z dziedziną i w badanym przedziale.

I sposób

II sposób

Wykres online

Post nr 458

Translacja - przesunięcia wykresu funkcji o wektor

Translacja - przesunięcia wykresów funkcji o wektor [p, g], równolegle o p jednostek w lewą lub prawą stronę względem osi odciętych (x) i równolegle o q jednostek w górę lub dół względem osi rzędnych (y)

Przesunięciem równoległym (translacją) o wektor ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ nazywamy przekształcenie geometryczne wykresu, w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że ${\displaystyle \overrightarrow{AA\prime }=\overrightarrow{u}}$.   Oznaczamy ${\displaystyle T_{\overrightarrow{u}}}$. 

Translacja (przesunięcie) to izometria polegająca na równoległym przesunięciu wykresu o pewien ustalony wektor w układzie współrzędnych. Translacja nie zmienia kształtu wykresu, natomiast zmienia położenie wykresu w stosunku do innych nie podlegających translacji wykresów.

Funkcja liniowa:
Przykład 1

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [4, 1], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-4] i dodajemy 1.

 Wykres online



Przykład 2

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-5, -2], polega na przesunięciu wykresu o 5 jednostek w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+5] i odejmujemy 2.

  

Wykres online


Przykład 3

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-6, -7], polega na przesunięciu wykresu o 6 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 7 jednostkę w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+6] i odejmujemy 7.

Wykres online

Przykład 4

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [3, -2], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-3] i odejmujemy 2.

Wykres online

Przykład 5 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [0, 3], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) dodajemy 1.

 
Wykres online



Funkcja kwadratowa:

Przykład 6 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [3, 2], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-3] i dodajemy 2.

Wykres online




Przykład 7 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-1, -2], polega na przesunięciu wykresu o 1 jednostkę w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostkę w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+1] i odejmujemy 2.

Wykres online



Przykład 8 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-1, 1], polega na przesunięciu wykresu o 1 jednostkę w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+1] i dodajemy 1.

Wykres online


Przykład 9

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, -3], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 3 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2] i odejmujemy 3.

Wykres online


Przykład 10

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [4, 2], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-4] i dodajemy 2.

Wykres online



Przykład 11

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [1, -3], polega na przesunięciu wykresu o 1 jednostkę w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 3 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-1] i odejmujemy 3.

Wykres online


Przykład 12

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, 1], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2] i dodajemy 1.

Wykres online


Funkcja homograficzna:
Przykład 13 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-3, -2], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+3] i odejmujemy 2.

Wykres online


Przykład 14 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-5, -3], polega na przesunięciu wykresu o 5 jednostek w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 3 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+5] i odejmujemy 3.

Wykres online


Przykład 15

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-4, 3], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 3 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+4] i dodajemy 3.

Wykres online


Przykład 16 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [2, -1], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-2] i odejmujemy 1.

Wykres online



Przykład 17 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-4, -2], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+4] i odejmujemy 2.

Wykres online


Przykład 18 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [3, -2], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-3] i odejmujemy 2.

Wykres online


Przykład 19 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-3, -2], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+3] i odejmujemy 2.

Wykres online


Funkcja wymierna:
Przykład 20 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [4, 2], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-4] i dodajemy 2.

Wykres online


Przykład 21 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [1, 5], polega na przesunięciu wykresu o 1 jednostkę w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 5 jednostek w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-1] i dodajemy 5.

Wykres online


Przykład 22 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [2, 3], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 3 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-2] i dodajemy 3.

Wykres online


Przykład 23 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, 1], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2] i dodajemy 1.

Wykres online


Przykład 24 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-3, -3], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 3 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+3] i odejmujemy 3.

Wykres online


Funkcja wymierna z wartością bezwzględną:
Przykład 25 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, 5], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 5 jednostek w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2] i dodajemy 5.

Wykres online


Funkcja pierwiastkowa
Przykład 26 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-7, -5], polega na przesunięciu wykresu o 7 jednostek w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 5 jednostek w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+7] i odejmujemy 5.

Wykres online


Przykład 27

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, 0], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2].

Wykres online


Przykład 28 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-5, 1], polega na przesunięciu wykresu o 5 jednostek w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+5] i dodajemy 1.

Wykres online


Przykład 29

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [3, 4], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 4 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-3] i dodajemy 4.

Wykres online


Funkcja wykładnicza:
Przykład 30

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, 2], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2] i dodajemy 2.

Wykres online


Przykład 31

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [3, 0], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-3].

Wykres online


Przykład 32 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [1, 1], polega na przesunięciu wykresu o 1 jednostkę w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-1] i dodajemy 1.

Wykres online


Funkcja logarytmiczna:
Przykład 33

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [4, 1], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-4] i dodajemy 1.

Wykres online


Przykład 34

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-4, -1], polega na przesunięciu wykresu o 4 jednostek w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+4] i odejmujemy 1.

Wykres online

Przykład 35 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [2, 1], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w górę równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-2] i dodajemy 1.

Wykres online


Przykład 36 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [2, -1], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 1 jednostkę w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-2] i odejmujemy 1.

Wykres online


Funkcje z wartością bezwzględną:
Przykład 37 

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [3, -2], polega na przesunięciu wykresu o 3 jednostki w prawą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x-3] i odejmujemy 2.

Wykres online


Przykład 38

Translacja wykresu funkcji f(x) o wektor [-2, -2], polega na przesunięciu wykresu o 2 jednostki w lewą stronę równolegle do osi odciętych (x) i o 2 jednostki w dół równolegle do osi rzędnych (y). Do wzoru funkcji f(x) w miejsce x podstawiamy [x+2] i odejmujemy 2.

Wykres online



Post nr 451