Zwierzęta żyjące na wyspie

Kangur Matematyczny 2014 | Zestaw Student zadanie nr 30

 

W lasach jednej z wysp Archipelagu Bergamutów żyją trzy rodzaje zwierząt: sarny, wilki i lwy. Wilki zjadają sarny, lwy zjadają zarówno sarny jak i wilki. Gdy wilk zje sarnę, zmienia się w lwa. Gdy lew zje sarnę zmienia się w wilka, a gdy zje wilka, zmienia się w sarnę.
Początkowo na wyspie było 17 saren, 55 wilków i 6 lwów.
Jaka jest NAJWIĘKSZA możliwa liczba zwierząt, które mogą pozostać na tej wyspie  w sytuacji, gdy ŻADNE ZWIERZĘ NIE  MOŻE ZJEŚĆ INNEGO?
_____________________________
A)     1              B)    6               C) 17           D) 23                   E)   35

Rozwiązanie:

Rozpatrujemy elementy zbiorów {S, W, L}, które są liczbami naturalnymi i określają liczbę zwierząt, gdzie:
S, zbiór saren
W, zbiór wilków
L, zbiór lwów.

Zbiorem wyjściowym w zadaniu jest zbiór{S, W, L} = {17, 55, 6}. Na zbiorach możemy wykonać następujące operacje:

Wilki zjadają sarny,  W -> S
lwy zjadają zarówno sarny jak i wilki. L -> {S, W}
Gdy wilk zje sarnę, zmienia się w lwa. W -> S <=> W = L
 Gdy lew zje sarnę zmienia się w wilka, L -> S <=> L = W
a gdy zje wilka, zmienia się w sarnę.  L -> W <=> L = S
Na zbiorze {S, W, L} należy wykonać jak najmniejszą liczbę operacji powyżej opisanych, żeby doprowadzić do sytuacji {S, 0, 0} lub {0, W, 0} lub {0, 0, L}. Sytuacją możliwą jest zbiór {0, 0, L}, gdyż za pomocą powyżej opisanych operacji nie można doprowadzić do sytuacji, by W i L lub S i L były jednocześnie parzyste. Zatem należy wykonać  55 operacji, żeby wyzerować  W  poprzez  S, a jednocześnie, żeby L było maksymalne.
Zbiór {S, W, L} doprowadzamy w 55 operacjach do postaci {0, 0, L} wykonując działania dodawania i odejmowania na elementach zbioru.

NAJWIĘKSZA możliwa liczba zwierząt, które mogą pozostać na tej wyspie w sytuacji, gdy ŻADNE ZWIERZĘ NIE MOŻE ZJEŚĆ INNEGO, to 23 lwy.

Źródło: Międzynarodowy Konkurs Matematyczny przeprowadzony w dn. 20.03.2014 roku, zestaw  Student 2014, zadanie ostatnie nr 30. Konkurs organizowany przez Towarzystwo Upowszechniania Wiedzy i Nauk Matematycznych.

Post nr 392