Suma kwadratów pól ścian czworościanu równa kwadratowi ściany

Wykaż, że kwadrat pola jednej ściany czworościanu w którym kąt przy każdej z trzech ścianach jest prosty, jest równy sumie kwadratów pól pozostałych ścian

 

W czworościanie ABCD wszystkie kąty przy wierzchołku D są proste.

Wykaż, że kwadrat pola ściany ABC jest równy sumie kwadratów pól pozostałych ścian.

Rozwiązanie: 

- w celu wykazania, że kwadrat pola ściany ABC jest równy sumie kwadratów pól pozostałych ścian należy skorzystać ze wzoru Herona na pole trójkąta ABC

- korzystamy również z Twierdzenia Pitagorasa w celu dokonania podstawień i przekształceń na wyprowadzonym wzorze Herona względem długości krawędzi czworościanu. Wiemy, że:

a² = y² + z²

b² = x² + z²

c² = x² + y²

- doprowadzamy przekształcenie wzoru Herona do najprostszej postaci, gdzie jednoznacznie wynika, że suma kwadratów pozostałych pól ścian jest równa kwadratowi pola ściany ABC. 

  

Post nr 408