Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Własności ciągu geometrycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego






Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz oprócz wyrazy pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę samą liczbę q. Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym stosunek dowolnego wyrazu ciągu do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały dla danego wyrazu.
Ciąg geometryczny może być nieskończony lub skończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.
Przyjmujemy, że ciąg (a1, 0, 0, 0, …) jest ciągiem geometrycznym, gdzie a1≠0 jest pierwszym wyrazem oraz q=0.
Jeśli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q≠0, to dla każdego nϵN₁,
an = a1 · qn-1

Własności ciągu geometrycznego
Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego




Z powyższego twierdzenia wynika, ze wyrazy an-1 i an+1 mają ten sam znak oraz
|an| = √(an-1 · an+1). W szczególności, jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie prawdziwy jest wniosek:
Jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to każdy wyraz ciągu, począwszy od drugiego, jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego tzn. an = √( an-1 · an+1).

Każdy wyraz ciągu geometrycznego (an) z wyjątkiem wyrazu pierwszego (gdy ciąg jest skończony – ostatniego) spełnia warunek: 
Dla każdego nϵN1  an2 = an-1 · an+1.

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego
Liczbę q = const. nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Obliczamy poprzez podzielenie dowolnego wyrazu przez wyraz poprzedzający, począwszy od wyrazu drugiego. Można zauważyć, że wyrazy ciągu geometrycznego są iloczynami wyrazu pierwszego i pewnej potęgi ilorazu q, przy czym wykładnik, do którego podniesiono q, jest o jeden mniejszy od wskaźnika porządkowego wyrazu.
Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego



Suma częściowa ciągu geometrycznego określa sumę n początkowych kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Z sumy częściowej ciągu geometrycznego można obliczyć kolejne wyrazy ciągu geometrycznego w sposób następujący:

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego



Wzory na sumę częściową ciągu geometrycznego można wykazać indukcyjnie.
Twierdzenie można udowodnić, stosując zasadę indukcji matematycznej (założenie indukcyjne, teza indukcyjna, dowód tezy indukcyjnej).
1. Sprawdzamy prawidłowość twierdzenia dla n=1
2. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k. Wykazać należy, że twierdzenie jest prawdziwe dla  n=k+1
Dowód tezy indukcyjnej. Twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z prawdziwości twierdzenia dla n=kϵN₁ wynika prawdziwość dla n=k+1. W myśl zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdego nϵN₁.


Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego
 Dowód indukcyjny powyższych wzorów na sumę częściową ciągu geometrycznego.
Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego















Sprawdź także podstawowe wzory i własności ciągu arytmetycznego (więcej)

Post nr 414

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.