Podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz oprócz wyrazy pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę samą liczbę q. Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym stosunek dowolnego wyrazu ciągu do wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest stały dla danego wyrazu.
Ciąg geometryczny może być nieskończony lub skończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.
Przyjmujemy, że ciąg (a₁, 0, 0, 0, …) jest ciągiem geometrycznym, gdzie a₁≠0 jest pierwszym wyrazem oraz q=0.
Jeśli ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q≠0, to dla każdego nϵN₁,
a_n= a₁· q^n-1

Własności ciągu geometrycznego

Z powyższego twierdzenia wynika, ze wyrazy a_n-1 i a_n+1 mają ten sam znak oraz
|a_n| = √(a_n-1 · a_n+1). W szczególności, jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie prawdziwy jest wniosek:
Jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to każdy wyraz ciągu, począwszy od drugiego, jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego tzn. a_n = √( a_n-1 · a_n+1).

Każdy wyraz ciągu geometrycznego (a_n) z wyjątkiem wyrazu pierwszego (gdy ciąg jest skończony – ostatniego) spełnia warunek:
Dla każdego nϵN₁ a_n² = a_n-1· a_n+1.

Liczbę q = const. nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Obliczamy poprzez podzielenie dowolnego wyrazu przez wyraz poprzedzający, począwszy od wyrazu drugiego. Można zauważyć, że wyrazy ciągu geometrycznego są iloczynami wyrazu pierwszego i pewnej potęgi ilorazu q, przy czym wykładnik, do którego podniesiono q, jest o jeden mniejszy od wskaźnika porządkowego wyrazu.

Suma częściowa ciągu geometrycznego określa sumę n początkowych kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Z sumy częściowej ciągu geometrycznego można obliczyć kolejne wyrazy ciągu geometrycznego w sposób następujący:

Wzory na sumę częściową ciągu geometrycznego można wykazać indukcyjnie.

Twierdzenie można udowodnić, stosując zasadę indukcji matematycznej (założenie indukcyjne, teza indukcyjna, dowód tezy indukcyjnej).

1. Sprawdzamy prawidłowość twierdzenia dla n=1

2. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k. Wykazać należy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k+1
Dowód tezy indukcyjnej. Twierdzenie jest prawdziwe dla n=1 i z prawdziwości twierdzenia dla n=kϵN₁ wynika prawdziwość dla n=k+1. W myśl zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdego nϵN₁.