Jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych?
Po prawej stronie tabel opisano jakie zdanie/a składowe należy zapamiętać i ich wartości w rachunku zdań tak, żeby sposób zapamiętania był najłatwiejszy.
W pewnym sensie spójniki logiczne nam same podpowiadają.
W alternatywie ze spójnika v możemy zrobić 0, zatem tylko 0 i 0 daje 0, pozostałe dają 1.
W koniunkcji spójnik ∧ przypomina 1, zatem tylko 1 i 1 daje 1, pozostałe dają 0.
W implikacji => tylko wartości 10 po dopisaniu 0 dają 100, pozostałe dają 1.
W równoważności <=> takie same spójniki dają prawdę tj. 1, zasada równowagi, pozostałe dają 0.
W dysjunkcji mamy zaprzeczenie koniunkcji, zatem 1 i 1 daje 0, pozostałe dają 1.
W pewnym sensie spójniki logiczne nam same podpowiadają.
W alternatywie ze spójnika v możemy zrobić 0, zatem tylko 0 i 0 daje 0, pozostałe dają 1.
W koniunkcji spójnik ∧ przypomina 1, zatem tylko 1 i 1 daje 1, pozostałe dają 0.
W implikacji => tylko wartości 10 po dopisaniu 0 dają 100, pozostałe dają 1.
W równoważności <=> takie same spójniki dają prawdę tj. 1, zasada równowagi, pozostałe dają 0.
W dysjunkcji mamy zaprzeczenie koniunkcji, zatem 1 i 1 daje 0, pozostałe dają 1.
Na wesoło:
W rozważaniach matematycznych spotykamy się ze zdaniami zbudowanymi z prostych zdań twierdzących lub ich zaprzeczeń, połączonych takimi wyrażeniami (spójnikami) jak: i, lub, jeżeli, to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że. Wyrażenie te nazywamy spójnikami zdaniotwórczymi. Zdaniami prostymi będziemy nazywać takie stwierdzenia, o których możemy powiedzieć, że są prawdziwe (mają wartość logiczną 1) lub fałszywe (mają wartość logiczną 0).
Analizą zdań złożonych, tzn. zbudowanych ze zdań prostych
połączonych spójnikami, zajmuje się rachunek zdań.
Alternatywa zdań
Zdanie złożone p v q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem lub nazywamy alternatywą zdań.
Alternatywa dwóch zdań (p v q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [0v0, fałsz].
Zdanie złożone p v q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem lub nazywamy alternatywą zdań.
Alternatywa dwóch zdań (p v q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [0v0, fałsz].
Koniunkcja zdań
Zdanie złożone p Λ q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją zdań.
Koniunkcja dwóch zdań (p Λ q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 Λ 1, prawda].
Zdanie złożone p Λ q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją zdań.
Koniunkcja dwóch zdań (p Λ q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 Λ 1, prawda].
Implikacja zdań
Zdanie złożone p => q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem jeżeli, to; nazywamy implikacją zdań.
Implikacja dwóch zdań (p => q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy, z prawdy nigdy nie wynika fałsz [1=>0, fałsz].
Uwaga: Poprzednik i następnik występuje tylko w implikacji!
Zdanie złożone p => q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem jeżeli, to; nazywamy implikacją zdań.
Implikacja dwóch zdań (p => q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy, z prawdy nigdy nie wynika fałsz [1=>0, fałsz].
Uwaga: Poprzednik i następnik występuje tylko w implikacji!
Równoważność zdań
Zdanie złożone p <=> q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy równoważnością zdań.
Równoważność dwóch zdań (p <=> q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy lub pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [1<=>1; 0<=>0, prawda].
Zdanie złożone p <=> q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy równoważnością zdań.
Równoważność dwóch zdań (p <=> q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy lub pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [1<=>1; 0<=>0, prawda].
Zaprzeczenie (negacja)
Zaprzeczeniem ~p (negacją) zdania p jest nieprawda, że p (lub nie p).
Zaprzeczenie (negacja) zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, zaprzeczenie (negacja) zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.
Zaprzeczeniem ~p (negacją) zdania p jest nieprawda, że p (lub nie p).
Zaprzeczenie (negacja) zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, zaprzeczenie (negacja) zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.
Dysjunkcja (zaprzeczanie koniunkcji)
Zdanie złożone p | q lub zapisujemy p / q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem Nieprawda, że zarazem... i ... nazywamy dysjunkcją zdań.
Dysjunkcja dwóch zdań (p | q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 | 1, fałsz].
Zdanie złożone p | q lub zapisujemy p / q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem Nieprawda, że zarazem... i ... nazywamy dysjunkcją zdań.
Dysjunkcja dwóch zdań (p | q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 | 1, fałsz].
Zdania, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, nazywamy TAUTOLOGIAMI (więcej).
