Sprawdzanie czy podane zdanie jest tautologią

Metoda zero-jedynkowa dla zdań składowych p, q, r, s sprawdzająca czy badane zdanie jest tautologią

Zdania, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, nazywamy TAUTOLOGIAMI.
Budujemy tabelę tzw. zero-jedynkową i zapisujemy wszystkie możliwe wartości logiczne zdań składowych p, q, r, s, które zdania te mogą przyjmować niezależnie od siebie. Następnie zapisujemy wartości logiczne zdań, z których zbudowane jest zdanie badane. Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynie jedynkami, to zdanie jest Tautologią. Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynie zerami, to zdanie jest Kontrtautologią.
Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynkami lub zerami, to zdanie nie jest Tautologią i nie jest Kontrtautologią.

 
Wyznaczyć brakujące wartości logiczne zdań składowych. 

Otrzymaliśmy w ostatniej kolumnie jedynie jedynki, zatem badane zdanie jest tautologią.

W jaki sposób wypisać wszystkie możliwości liczbowe zdań składowych p, q, r, s?
W tym celu można posłużyć się drzewem lub schematem, który przedstawiłem w powyższej tabeli.

Jak zapisać wartości logiczne zdań w tabeli?
Drzewo opisuje przebieg jak budujemy tabelę tzw. zero-jedynkową.

Zaczynamy od górnej gałązki 0 (zdanie p), następnie po odpowiednich gałązkach schodzimy do ostatniej wartości logicznej 0 (zdanie s). Zatem otrzymujemy pierwszą (1) możliwość wartości logicznych zdań: 0000.

Dalej postępujemy zgodnie z powyższym opisem schodząc odpowiednio do drugiej (2), trzeciej (3), itd. możliwości  wartości logicznych zdań

(1)    0000

(2)    0001

(3)    0010

...

W rozważaniach matematycznych spotykamy się ze zdaniami zbudowanymi z prostych zdań twierdzących lub ich zaprzeczeń, połączonych takimi wyrażeniami (spójnikami) jak: i, lub, jeżeli, to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że. Wyrażenie te nazywamy spójnikami zdaniotwórczymi. Zdaniami prostymi będziemy nazywać takie stwierdzenia, o których możemy powiedzieć, że są prawdziwe (mają wartość logiczną 1) lub fałszywe (mają wartość logiczną 0).

Analizą zdań złożonych, tzn. zbudowanych ze zdań prostych połączonych spójnikami, zajmuje się rachunek zdań.

Sprawdź jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych (więcej).

Polecam materiał Logika dla opornych (więcej)

Z tego materiału dowiesz się z klasycznego rachunku zdań o:
1. Schematy zdań
2. Tabelki zero-jedynkowe i ich zastosowanie
3. Tautologie i Kontrtautologie

4. Skrócona metoda zero-jedynkowa

5. Prawda logiczna i zdania wewnętrznie sprzeczne

6. Wynikanie logiczne

7. Wnioskowanie

i inne zagadnienia.

Post nr 436

Wartości logiczne zdań składowych

Jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych?

Po prawej stronie tabel opisano jakie zdanie/a składowe należy zapamiętać i ich wartości w rachunku zdań tak, żeby sposób zapamiętania był najłatwiejszy. 
W pewnym sensie spójniki logiczne nam same podpowiadają.
W alternatywie ze spójnika v możemy zrobić 0, zatem tylko 0 i 0 daje 0, pozostałe dają 1.
W koniunkcji spójnik ∧ przypomina 1, zatem tylko 1 i 1 daje 1, pozostałe dają 0.
W implikacji => tylko wartości 10 po dopisaniu 0 dają 100, pozostałe dają 1.
W równoważności <=> takie same spójniki dają prawdę tj. 1, zasada równowagi, pozostałe dają 0.
W dysjunkcji mamy zaprzeczenie koniunkcji, zatem 1 i 1 daje 0, pozostałe dają 1.

Na wesoło:

W rozważaniach matematycznych spotykamy się ze zdaniami zbudowanymi z prostych zdań twierdzących lub ich zaprzeczeń, połączonych takimi wyrażeniami (spójnikami) jak: i, lub, jeżeli, to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że. Wyrażenie te nazywamy spójnikami zdaniotwórczymi. Zdaniami prostymi będziemy nazywać takie stwierdzenia, o których możemy powiedzieć, że są prawdziwe (mają wartość logiczną 1) lub fałszywe (mają wartość logiczną 0).

Analizą zdań złożonych, tzn. zbudowanych ze zdań prostych połączonych spójnikami, zajmuje się rachunek zdań.

Alternatywa zdań
Zdanie złożone p v q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem lub nazywamy alternatywą zdań.
Alternatywa dwóch zdań (p v q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [0v0, fałsz].

Koniunkcja zdań
Zdanie złożone p Λ q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją zdań.
Koniunkcja dwóch zdań (p Λ q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 Λ 1, prawda].

Implikacja zdań
Zdanie złożone p => q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem jeżeli, to;  nazywamy implikacją zdań.
Implikacja dwóch zdań (p => q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy, z prawdy nigdy nie wynika fałsz [1=>0, fałsz].

Uwaga: Poprzednik i następnik występuje tylko w implikacji!

Równoważność zdań
Zdanie złożone p <=> q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy równoważnością zdań.
Równoważność dwóch zdań (p <=> q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy lub pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [1<=>1; 0<=>0, prawda].

Zaprzeczenie (negacja)
Zaprzeczeniem ~p (negacją) zdania p jest nieprawda, że p (lub nie p).
Zaprzeczenie (negacja) zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, zaprzeczenie (negacja) zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym. 

Dysjunkcja (zaprzeczanie koniunkcji)
Zdanie złożone p | q lub zapisujemy p / q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem Nieprawda, że zarazem... i ... nazywamy dysjunkcją zdań.
Dysjunkcja dwóch zdań (p | q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 | 1, fałsz].

Zdania, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, nazywamy TAUTOLOGIAMI (więcej).

Post nr 435

Tautologia

Sprawdzanie czy podane zdanie jest tautologią

 

Zdania, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, nazywamy TAUTOLOGIAMI.
Budujemy tabelę tzw. zero-jedynkową i zapisujemy wszystkie możliwe wartości logiczne zdań składowych p, q, r,  które zdania te mogą przyjmować niezależnie od siebie. Następnie zapisujemy wartości logiczne zdań, z których zbudowane jest zdanie badane. Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynie jedynkami, to zdanie jest Tautologią. Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynie zerami, to zdanie jest Kontrtautologią.
Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynkami lub zerami, to zdanie nie jest Tautologią i nie jest Kontrtautologią.

 

 
Wyznaczyć brakujące wartości logiczne zdań składowych. 

 Otrzymaliśmy w ostatniej kolumnie jedynie jedynki, zatem badane zdanie jest tautologią.

W rozważaniach matematycznych spotykamy się ze zdaniami zbudowanymi z prostych zdań twierdzących lub ich zaprzeczeń, połączonych takimi wyrażeniami (spójnikami) jak: i, lub, jeżeli, to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że. Wyrażenie te nazywamy spójnikami zdaniotwórczymi. Zdaniami prostymi będziemy nazywać takie stwierdzenia, o których możemy powiedzieć, że są prawdziwe (mają wartość logiczną 1) lub fałszywe (mają wartość logiczną 0).

Analizą zdań złożonych, tzn. zbudowanych ze zdań prostych połączonych spójnikami, zajmuje się rachunek zdań.

Alternatywa zdań

Zdanie złożone p v q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem lub nazywamy alternatywą zdań.

Alternatywa dwóch zdań (p v q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [0v0, fałsz].

Koniunkcja zdań

Zdanie złożone p Λ q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją zdań.

Koniunkcja dwóch zdań (p Λ q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 Λ 1, prawda].

Implikacja zdań

Zdanie złożone p => q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem jeżeli, to;  nazywamy implikacją zdań.

Implikacja dwóch zdań (p => q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy, z prawdy nigdy nie wynika fałsz [1=>0, fałsz].

Uwaga: Poprzednik i następnik występuje tylko w implikacji!

Równoważność zdań

Zdanie złożone p <=> q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy równoważnością zdań.

Równoważność dwóch zdań (p <=> q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy lub pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [1<=>1; 0<=>0, prawda].

Zaprzeczenie (negacja)

Zaprzeczeniem ~p (negacją) zdania p jest nieprawda, że p (lub nie p). Zaprzeczenie (negacja) zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, zaprzeczenie (negacja) zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym. 

Sprawdź jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych?

Post nr 278