Usuwanie niewymierności

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka polega na przeniesieniu symbolu pierwiastka z mianownika do licznika ułamka z określoną wartością. W tym celu należy pomnożyć licznik i mianownik danego ułamka przez taką wartość, żeby w mianowniku otrzymać liczbę rzeczywistą różną od zera.
Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka polega najczęściej na pomnożeniu licznika i mianownika przez taką wartość, żeby zastosować wzory skróconego możenia tj.

(a – b)(a + b) = a² - b²
(a -  b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
(a +  b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

W poniższych wzorach zakładamy, że liczby pod pierwiastkami kwadratowymi lub innym pierwiastkami stopni parzystych są nieujemne, a mianowniki są różne od zera.

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka, gdy występuje w nim więcej niż jeden symbol (+, -) i zawiera pierwiastki kwadratowe.

Mając dane wyrażenie do mianownika ułamka należy dopisać nawias w taki sposób by grupował dwa wyrazy i po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a² - b², otrzymujemy wyrażenie, które nie zawiera liczb wymiernych lub zawiera dokładnie jedną liczbę wymierną, ostatecznie sumę lub różnicę liczby wymiernej i niewymiernej. 

W oparciu o sposób tabelkowego wymnażania wyrażeń algebraicznych, znajdujemy takie wyrażenie, które sprawi, że po dodaniu wszystkich składników w tabelce otrzymamy brak liczb niewymiernych lub dokładnie jedną liczbę niewymierną. Metodą prób i błędów należy najpierw pomnożyć mianownik z danego przykładu przez samego siebie. Jeśli mnożenie takie nie da oczekiwanego rezultatu, to należy pozmieniać znaki w wyrażeniu przez które mnożymy, a jeśli i to nic nie da, to należy poszukać całkowicie innego wyrażenia, które da oczekiwany wynik tj. brak liczby niewymiernej lub dokładnie jedną taką liczbę, ostatecznie sumę lub różnicę liczby wymiernej i niewymiernej.

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka, gdy występuje w nim więcej niż jeden symbol (+, -) i zawiera pierwiastki sześcienne.
Opis dla przykładu nr 45.
Aby usunąć niewymierność z mianownika takiego ułamka można kombinować za pomocą tabelki, ale można także zauważyć, że zastosowanie znajdzie tu, wzór na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń: a³ - b³ = (a – b)(a² + ab + b²).
Należy zauważyć, że mianownik ułamka z przykładu zadania, podobnie jak drugi nawias w powyższym wzorze, ma 3 składniki tj. (a – b)(a² + ab + b²)=(a – b)(∛9 + ∛3 + 1). Porównując składniki z mianownika danego ułamka z odpowiednimi składnikami drugiego nawiasu, widzimy, że b=1, bo 1²=1.  Wiedząc już, że b=1, obliczamy ze środkowego wyrazu, że a=∛3, bo ab = ∛3.

Otrzymujemy:  (∛3)³ - 1³ = (∛3 – 1)( ∛3² + ∛3·1 + 1²) = (∛3 – 1)(∛9 + ∛3 + 1), zatem mnożymy licznik i mianownik ułamka przez (∛3 – 1) w celu usunięcia niewymierności.

 

Uwaga: Nie z każdego mianownika ułamka można usunąć niewymierność.

Dlaczego należy usuwać niewymierność z mianownika ułamka - sprawdź ważne!

Działania na pierwiastkach - dowiedz się więcej 



 Post nr 454