Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej. Usuwanie liczby zespolonej z mianownika ułamka poprzez jej sprzężenie.
Potęgowanie liczb zespolonych wzorem de Moivre'a.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze wzoru na pierwiastki stopnia n-tego.

Działania na liczbach zespolonych


Definicja liczby zespolonej:
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taką parę zapisuje się w postaci sumy:
z = a+bi , gdzie  i2=-1.
Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:
Re z = a
Im z = b.

Liczba zespolona jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0. 

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone.

Liczbę zespoloną postaci   a-bi  nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z=a+bi,
i oznaczamy ją z reguły symbolem. Liczbie tej odpowiada na płaszczyźnie punkt, który jest położony symetrycznie do punktu (a,b) względem osi Ox.  
Liczby zespolone postaci a+0i zapisujemy jako a  i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. 
Liczbom rzeczywistym  a = a+0i odpowiadają punkty na płaszczyźnie o rzędnej równej zeru, tzn. punkty osi odciętych (osi Ox). Dlatego oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą.

Jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest równa zero, to liczba ma postać bi  i nazywamy ją liczbą urojoną. Liczbom urojonym bi = 0 +bi  odpowiadają punkty o odciętej równej zeru, tzn. punkty osi rzędnych (osi Oy). Dlatego oś rzędnych nazywamy osią urojoną.

Działania na liczbach zespolonych.
Na liczbach zespolonych możemy wykonywać podobnie jak na liczbach rzeczywistych podstawowe działania. 
Liczby zespolone dodajemy, odejmujemy i mnożymy tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że i2=-1.  
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. Z podanych definicji działań na liczbach zespolonych wynika, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. 


W działaniach na liczbach zespolonych wykorzystujemy:


1. Usuwanie liczby zespolonej z mianownika ułamka poprzez jej sprzężenie.
Sprzężenie zespolone z¯=abi,to jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej z=a+bi.
2. Potęgowanie liczb zespolonych wzorem de Moivre'a. Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu do potęgi i obliczaniu pierwiastka z tej liczby. Gdy weźmiemy wzór na mnożenie liczb zespolonych w tej postaci  dla   z1 = z2 i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem  Moivre’a. Dzięki temu wzorowi w bardzo prosty sposób możemy podnosić liczby zespolone do potęgi i to dowolnie dużej.
3. Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze wzoru na pierwiastki stopnia n-tego.








21 przykładów z działań na liczbach zespolonych.
W przykładach wykorzystano także własność, że i2=-1.

Działania na liczbach zespolonych


Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych


Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych



Post nr 468

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.