Wzory redukcyjne

Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta stosując wzory redukcyjne  

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°. 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Wykresy funkcji trygonometrycznych:
1. Sinus y=sinx (sinusoida)



2. Cosinus  y=cosx (cosinusoida) 



3. Tangens y=tgx (tangensoida) 



4. Cotangens  y=ctgx (cotangensoida) 

Jeśli we wzorach redukcyjnych występuje kąt 1 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°) lub kąt 3 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°), lub kąt k · 90° + α, gdzie k jest liczbą nieparzystą i (0°<α<90°) to funkcja przechodzi na "kofunkcję", tzn. otrzymuje lub traci przedrostek "co".
sin -> cosin = cos
cos -> cosin = sin
tg -> cotg = ctg
ctg -> cotg = tg

Wzory redukcyjne są to wzory pozwalające redukować, czyli sprowadzać funkcje trygonometryczne kąta dowolnego do funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. 
Zauważmy, że jeśli ramię końcowe kąta znajduje się:
a) w II ćwiartce, to ramię tego kąta możemy zapisać jako:
1 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°) 
2 · 90° - α, gdzie (0°<α<90°) 
b) w III ćwiartce, to ramię tego kąta możemy zapisać jako:
2 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°) 
3 · 90° - α, gdzie (0°<α<90°) 
c) w IV ćwiartce, to ramię tego kąta możemy zapisać jako:
3 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°) 
4 · 90° - α, gdzie (0°<α<90°) 

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 120°, 135°, 150° stosując wzory redukcyjne.

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 210°, 225°, 240° stosując wzory redukcyjne.

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 300°, 315°, 330° stosując wzory redukcyjne.

Funkcje trygonometryczne sinus, tangens, cotangens są funkcjami nieparzystymi i spełniają warunek f(-α) = -f(α). Funkcja trygonometryczna cosinus jest funkcją parzystą i spełnia warunek f(-α) = f(α).   

Znamy twierdzenie, że dla dowolnego kąta α:

sin(-α) = -sinα     

cos(-α) = cosα  

tg(-α) = -tgα    dla α ≠ 90° + k·180° i k∈C

ctg(-α) = -ctgα   dla α ≠ k·180° i k∈C 

Minus przed α oznacza także, że kąt α określamy w układzie współrzędnych od osi Ox = 0°, zgodnie z ruchem do ruchu wskazówek zegara.  

   

Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów większych od 360° stosując wzory redukcyjne. 

1. Określamy w której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się kąt. Pamiętaj, że układ jest podzielony na 4 ćwiartki. 

0° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox

0°<I ćwiartka<90°

90° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox i z dodatnią półosią osi Oy

90°<II ćwiartka<180°

180° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox i z ujemną półosią osi Ox
180°<III ćwiartka<270°
270° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox i z ujemną półosią osi Oy
270°<IV ćwiartka<360°
Zgodnie z ruchem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się kąt o mierze?

a) 390°       obliczamy 390° : 90° = 4 r 30°

4 = 4+0 z tego wynika, że: I, II, III, IV, 30°=I

Zatem jest to I ćwiartka.

b) 1395°       obliczamy 1395° : 90° = 15 r 45°

15 = 12+3 z tego wynika, że: I, II, III, IV, I, II, III, IV, I, II, III, IV, I, II, III+45°=IV
Zatem jest to IV ćwiartka.

c) 870°       obliczamy 870° : 90° = 9 r 60°, 

9 = 8+1 z tego wynika, że: I, II, III, IV, I, II, III, IV, I+60°=II
Zatem jest to II ćwiartka.

d) 1110°       obliczamy 1110° : 90° = 12 r 30°, 

12 = 12+0 z tego wynika, że: I, II, III, IV, I, II, III, IV, I, II, III, IV, 30°=I
Zatem jest to I ćwiartka.

2. Na podstawie wyznaczonej ćwiartki układu współrzędnych określamy znak wartości funkcji trygonometrycznych oraz pamiętamy o parzystości tylko dla funkcji cosinus. 

Dowiedz się więcej

3. Określamy czy funkcja przechodzi w "kofunkcję".
4. Wyznaczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kąta. 

Post nr 507