Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta stosując wzory redukcyjne
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 0°
, 30°
, 45°
, 60°
, 90°
, 120°
, 135°
. 150°
, 180°
, 210°
, 225°
,
240°
, 270°
, 300°
, 315°
, 330°
, 360°
.
Wykresy funkcji trygonometrycznych:
1. Sinus y=sinx (sinusoida)
2. Cosinus y=cosx (cosinusoida)
3. Tangens y=tgx (tangensoida)
4. Cotangens y=ctgx (cotangensoida)
Jeśli we wzorach redukcyjnych występuje kąt 1 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°) lub kąt 3 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°), lub kąt k · 90° + α, gdzie k jest liczbą nieparzystą i (0°<α<90°) to funkcja przechodzi na "kofunkcję", tzn. otrzymuje lub traci przedrostek "co".
sin -> cosin = cos
cos -> cosin = sin
tg -> cotg = ctg
ctg -> cotg = tg
Wzory redukcyjne są to wzory pozwalające redukować, czyli sprowadzać funkcje trygonometryczne kąta dowolnego do funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
Zauważmy, że jeśli ramię końcowe kąta znajduje się:
a) w II ćwiartce, to ramię tego kąta możemy zapisać jako:
1 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°)
2 · 90° - α, gdzie (0°<α<90°)
b) w III ćwiartce, to ramię tego kąta możemy zapisać jako:
2 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°)
3 · 90° - α, gdzie (0°<α<90°)
c) w IV ćwiartce, to ramię tego kąta możemy zapisać jako:
3 · 90° + α, gdzie (0°<α<90°)
4 · 90° - α, gdzie (0°<α<90°)
Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 120°, 135°, 150° stosując wzory redukcyjne.
Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 210°, 225°, 240° stosując wzory redukcyjne.
Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 300°, 315°, 330° stosując wzory redukcyjne.
Funkcje trygonometryczne sinus, tangens, cotangens są funkcjami nieparzystymi i spełniają warunek f(-α) = -f(α). Funkcja trygonometryczna cosinus jest funkcją parzystą i spełnia warunek f(-α) = f(α).
Znamy twierdzenie, że dla dowolnego kąta α:
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tg(-α) = -tgα dla α ≠ 90° + k·180° i k∈C
ctg(-α) = -ctgα dla
α ≠
k·180° i k∈C
Minus przed α oznacza także, że kąt α określamy w układzie współrzędnych od osi Ox = 0°, zgodnie z ruchem do ruchu wskazówek zegara.
Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów większych od 360° stosując wzory redukcyjne.
1. Określamy w której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się kąt. Pamiętaj, że układ jest podzielony na 4 ćwiartki.
0° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox
0°<I ćwiartka<90°
90° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox i z dodatnią półosią osi Oy
90°<II ćwiartka<180°
180° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox i z ujemną półosią osi Ox
180°<III ćwiartka<270°
270° kąt pokrywa się z dodatnią półosią osi Ox i z ujemną półosią osi Oy
270°<IV ćwiartka<360°
Zgodnie z ruchem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się kąt o mierze?
a) 390° obliczamy 390° : 90° = 4 r 30°
4 = 4+0 z tego wynika, że: I, II, III, IV, 30°=I
Zatem jest to I ćwiartka.
b) 1395° obliczamy 1395° : 90° = 15 r 45°
15 = 12+3 z tego wynika, że: I, II, III, IV, I, II, III, IV, I, II, III, IV, I, II, III+45°=IV
Zatem jest to IV ćwiartka.
c) 870° obliczamy 870° : 90° = 9 r 60°,
9 = 8+1 z tego wynika, że: I, II, III, IV, I, II, III, IV, I+60°=II
Zatem jest to II ćwiartka.
d) 1110° obliczamy 1110° : 90° = 12 r 30°,
12 = 12+0 z tego wynika, że: I, II, III, IV, I, II, III, IV, I, II, III, IV, 30°=I
Zatem jest to I ćwiartka.
2. Na podstawie wyznaczonej ćwiartki układu współrzędnych określamy znak wartości funkcji trygonometrycznych oraz pamiętamy o parzystości tylko dla funkcji cosinus.
3. Określamy czy funkcja przechodzi w "kofunkcję".
4. Wyznaczamy wartość funkcji trygonometrycznej dla kąta.
Post nr 507
