Wysokość w trójkącie prostokątnym równa sumie długości promieni

Wysokość w trójkącie prostokątnym równa sumie długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty wyznaczone przez wysokość i tego trójkąta

Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC, gdzie |∡ACB|=90° poprowadzono wysokość CD. Wykaż, że długość wysokości CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC. 

Jeżeli w trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąt prostego C poprowadzimy wysokość CD, to podzieli nam ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ADC i BDC. Wysokość CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC.

Niech liczby r₁, r₂, r₃ będą długościami promieniu okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty ADC, BDC, ABC oraz |AD|=x, |BD|=c-x i liczby a, b, c niech będą długościami boków trójkąta ABC, |AB|=c, |BC|=b, |AC|=a.
Założenie:
Trójkąt ABC jest prostokątny, |∡ACB|=90°, |CD|⊥ |AB|
Teza:
|CD| = r₁ + r₂ + r₃
Dowód:

Zobacz także jak wykazać, że: w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie

Post nr 395