Tweety na temat @MinorMatematyka

Łączna liczba wyświetleń

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-515

sobota, 10 maja 2014

Pole trójkąta utworzonego z trzech zewnętrznie stycznych okręgów

Pole trójkąta wyznaczone przez trzy parami styczne zewnętrznie okręgi, a stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta wyznaczonego przez środki okręgów

 
Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r gdzie zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.







Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC. 

Okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r).

Rozwiązanie:
- obliczamy pole trójkąta ABC stosując wzór (|AB| · |AC|)/2 ze względu, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, kąt przy wierzchołku A jest prosty, promienie okręgu o środku A są prostopadłe względem siebie
- pole trójkąta KLM należy pomniejszyć o sumę pól poszczególnych trójkątów tj. AKM, BKL, CLM
- pola trójkątów BKL i CLM należy obliczyć połowę iloczynu długości dwóch kolejnych boków i sinusa kąta zawartego między nimi
- wiemy także, że kąty |∡ABC|=|∡KBL| i |∡ACB|=|∡MCL| co wyznacza nam sinusy
tych kątów w trójkącie ABC.
Ponadto:
10. Jeżeli trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym w,  którym boki są odpowiednio równe 3r, 4r, 5r, to długości tych boków wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych boków trójkąta ABC jest równa r.
20. Promienie okręgów są odpowiednio równe r, 2r, 3r, to długości tych promieni wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych promieni okręgów jest równa r. 


Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r gdzie zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.
Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r gdzie zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.


Źródło:
Zadanie pobrano z arkusza egzaminacyjnego, matura z matematyki na poziomie rozszerzonym, zadanie nr 5,  w celu podania przykładowego rozwiązania. Zadanie opracowane przez CKE Warszawa. Egzamin przeprowadzono w terminie głównym wśród maturzystów w dn. 9.05.2014 r. 
Równania okręgów online




Post nr 422
Autor: o
Etykiety: , , , ,

Liczba komentarzy:
Reakcje: 
Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.