Pole trójkąta wyznaczone przez trzy parami styczne zewnętrznie okręgi, a stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta wyznaczonego przez środki okręgów
Dane są
trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są
zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L
i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola
trójkąta ABC.
Okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r).
Rozwiązanie:
- obliczamy pole trójkąta ABC stosując wzór (|AB| · |AC|)/2 ze względu, że
trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, kąt przy wierzchołku A jest prosty,
promienie okręgu o środku A są prostopadłe względem siebie
- pole trójkąta KLM należy pomniejszyć o sumę pól poszczególnych trójkątów tj.
AKM, BKL, CLM
- pola trójkątów BKL i CLM należy obliczyć połowę iloczynu długości dwóch
kolejnych boków i sinusa kąta zawartego między nimi
- wiemy także, że kąty |∡ABC|=|∡KBL| i |∡ACB|=|∡MCL| co wyznacza nam sinusy
tych kątów w trójkącie ABC.
Ponadto:
10. Jeżeli trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym w, którym boki są odpowiednio równe 3r, 4r, 5r,
to długości tych boków wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy
długościami tych boków trójkąta ABC jest równa r.
20. Promienie okręgów są odpowiednio równe r, 2r, 3r, to długości tych
promieni wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych
promieni okręgów jest równa r.
Źródło:
Zadanie pobrano z arkusza egzaminacyjnego, matura z matematyki na poziomie rozszerzonym,
zadanie nr 5, w celu podania przykładowego rozwiązania. Zadanie
opracowane przez CKE Warszawa. Egzamin przeprowadzono w terminie głównym wśród maturzystów
w dn. 9.05.2014 r.
Równania
okręgów online
Post nr 422
Brak komentarzy:
Publikowanie komentarza