Pole trójkąta utworzonego z trzech zewnętrznie stycznych okręgów

Pole trójkąta wyznaczone przez trzy parami styczne zewnętrznie okręgi, a stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta wyznaczonego przez środki okręgów

 

Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC. 

Okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r).

Rozwiązanie:

- obliczamy pole trójkąta ABC stosując wzór (|AB| · |AC|)/2 ze względu, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, kąt przy wierzchołku A jest prosty, promienie okręgu o środku A są prostopadłe względem siebie

- pole trójkąta KLM należy pomniejszyć o sumę pól poszczególnych trójkątów tj. AKM, BKL, CLM

- pola trójkątów BKL i CLM należy obliczyć połowę iloczynu długości dwóch kolejnych boków i sinusa kąta zawartego między nimi

- wiemy także, że kąty |∡ABC|=|∡KBL| i |∡ACB|=|∡MCL| co wyznacza nam sinusy

tych kątów w trójkącie ABC.

Ponadto:

1⁰. Jeżeli trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym w,  którym boki są odpowiednio równe 3r, 4r, 5r, to długości tych boków wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych boków trójkąta ABC jest równa r.

2⁰. Promienie okręgów są odpowiednio równe r, 2r, 3r, to długości tych promieni wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych promieni okręgów jest równa r. 

Źródło:
Zadanie pobrano z arkusza egzaminacyjnego, matura z matematyki na poziomie rozszerzonym, zadanie nr 5,  w celu podania przykładowego rozwiązania. Zadanie opracowane przez CKE Warszawa. Egzamin przeprowadzono w terminie głównym wśród maturzystów w dn. 9.05.2014 r. 

Równania okręgów online

Zobacz także, na trójkącie prostokątnym ABC z każdego jego wierzchołka wykreślono parami styczne zewnętrznie koła o promieniach długości tworzących ciąg arytmetyczny (więcej)

Post nr 422