Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód

 

Jeżeli na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest opisany okrąg  i w ten trójkąt jest wpisany okrąg, to można wykazać, że:

1⁰. W trójkącie prostokątnym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Ponadto:

1⁰. Wyznaczając promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny należy różnicę sumy długości przyprostokątnych a i a trójkąta ABC pomniejszyć o długość przeciwprostokątnej a√2 i podzielić przez 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnych równoramienny jest równy średniej arytmetycznej różnicy sumy długości przyprostokątnych (a i a) i długości przeciwprostokątnej a√2.

2⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe ilorazowi długości kwadratu przyprostokątnej a przez 2.
S ∆ ABC = a²/2.
3⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe iloczynowi średniej arytmetycznej długości obwodu pomnożone przez długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Pole S ∆ ABC = p · r dowodził wzór Herona.
S ∆ ABC = p · r, gdzie p = 2a + a√2.
4⁰. Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny:

Wykażemy, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Wykażemy, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny jest równa r = (2a + a√2)/2 i zwraca nam wzór na pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a.

Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Zobacz także, jak wyznaczyć wzór na promień okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie prostokątnym (więcej).


Post nr 421