Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych

 

W działaniach na liczbach zespolonych, gdy wykładnik w potędze jest dużą liczbą naturalną, to zawsze da się je uprościć.
Korzystając z podstawowych działań na potęgach otrzymujemy własności mnożenia potęg o tych samych podstawach lub tych samych wykładnikach czyli potęgowanie potęgi.
Wynika, że i podniesione do dowolnej potęgi zawsze daje jedną z czterech liczb: 1, i, -1, -i.

Na 16 poniższych przykładach można wyznaczyć regułę, jaka występuje w kolejnych potęgach jednostki urojonej. Wyniki tych potęg są cyklicznymi i powtarzającymi się liczbami 1, i, -1, -i.
Tą obserwację można sformułować w następującym twierdzeniu:

Twierdzenie Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:

• i^n = i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
• i^n = -1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
• i^n = -i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
• i^n = 1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0. 

 

II sposób
Korzystamy z własności potęgowania potęgi:

Post nr 445