Potęgi

Otwórz tablicę z potęgami klikając tutaj.

Otwórz tablicę z apletami podsumowanie działań na potęgach tutaj

  Post nr 521

Działania na potęgach

Wartość wyrażenia z działaniami na potęgach

 

Wyznacz wartość wyrażenia z wykorzystaniem działań na potęgach.


Rozwiązanie:

 Kalkulator online





Post nr 459

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych

 

W działaniach na liczbach zespolonych, gdy wykładnik w potędze jest dużą liczbą naturalną, to zawsze da się je uprościć.
Korzystając z podstawowych działań na potęgach otrzymujemy własności mnożenia potęg o tych samych podstawach lub tych samych wykładnikach czyli potęgowanie potęgi.
Wynika, że i podniesione do dowolnej potęgi zawsze daje jedną z czterech liczb: 1, i, -1, -i.

Na 16 poniższych przykładach można wyznaczyć regułę, jaka występuje w kolejnych potęgach jednostki urojonej. Wyniki tych potęg są cyklicznymi i powtarzającymi się liczbami 1, i, -1, -i.
Tą obserwację można sformułować w następującym twierdzeniu:

Twierdzenie Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:

• i^n = i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
• i^n = -1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
• i^n = -i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
• i^n = 1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0. 

 

II sposób
Korzystamy z własności potęgowania potęgi:

Post nr 445

Wartość wyrażenia

Obliczanie wartości wyrażenia z uwalnianiem od pierwiastków

Wyznacz wartość wyrażenia x i y, a następnie oblicz ich sumę x + y.

Rozwiązanie:

Doprowadzamy wartości pod pierwiastkami do sześcianu lub kwadratu wyrażeń ze względu na uwolnienie się od pierwiastków. Należy pamiętać, że uwalniając wyrażenia od pierwiastków parzystego stopnia wartość wyrażenia jest równa wartości bezwzględnej (jest dodatnia). Dlatego w tym przypadku należy skorzystać z własności, że √a²= |a|.

Post nr 372

Działania na potęgach

Działania na potęgach z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia

Oblicz wartości wyrażeń x, y, z korzystając ze wzoru skróconego mnożenia z wykorzystaniem działań na potęgach. 

Rozwiązanie:

Obliczamy wartość wyrażenia x

 Obliczamy wartość wyrażenia y

 Obliczamy wartość wyrażenia z

Post nr 342

Porównywanie pierwiastków

Porównywanie wartości pierwiastków zapisanych w postaci sumy

Wyznacz wartość liczbową wyrażenia A i B, porównaj ich wartości.

Która z podanych odpowiedzi jest prawidłowa?

A<B

A>B

A=B

Rozwiązanie:

W sumie pierwiastki sprowadzamy do wspólnego stopnia, żeby można porównać wartości liczby A i B. 

Post nr 324

Skrócone mnożenie liczb

Skrócone mnożenie dwóch dowolnych liczb

Doprowadź wyrażenie algebraiczne do prostszej postaci, a następnie wyznacz iloczyn liczb a i b. Co można zauważyć? 

Na podstawie podanego wzoru można wyznaczyć iloczyn dwóch dowolnych liczb co można wykazać:

Post nr 277

Ile liczb naturalnych podzielnych przez 11 należy do przedziału

Ile liczb naturalnych podzielnych przez 11 należy do przedziału <a, b>

 

Ile liczb naturalnych podzielnych przez 11 należy do przedziału <a, b>  wiedząc, że a i b mają odpowiednią wartość liczbową.

Rozwiązanie:

 

Wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału <777, 999> i podzielnych przez 11 jest 20. Te liczby to:

{781, 792, 803, 814, 825, 836, 847, 858, 869, 880, 891, 902, 913, 924, 935, 946, 957, 968, 979, 990}

Post nr 264

Sprowadzanie potęg do najprostszej postaci

Sprowadź potęgi do najprostszej postaci.

Rozwiązanie:

 

Post nr 256

(-2) do potęgi -2 i do potęgi -2

Ile to jest (-2) do potęgi -2 i do potęgi -2?

 

Rozwiązanie:

 

Nie istnieje wartość z pierwiastka czwartego stopnia z liczby ujemnej, zatem działanie nie posiada rozwiązania.

Post nr 255 

Równanie pierwiastkowe - potęgowe - wykładnicze

Rozwiąż równanie z zbiorze liczb naturalnych dodatnich.

Rozwiązanie:

 

Post nr 248