Monotoniczność ciągu liczbowego, ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego
Monotoniczność ciągu:
Ponieważ ciągi są funkcjami, więc analogicznie jak w przypadku funkcji możemy badać monotoniczność ciągów, korzystając z definicji funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej, stałej.
Ciąg (an) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁ an+1 > an => an+1 – an > 0.
Dla każdego nϵN₁ an+1 < an => an+1 – an < 0.
Ciąg (an) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz jest równy (identyczny).
Dla każdego nϵN₁ an+1 = an => an+1 – an = 0.
Ciąg (an) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy lub równy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁ an+1 ≥ an => an+1 – an ≥ 0.
Ciąg (an) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy lub równy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁ an+1 ≤ an => an+1 – an ≤ 0.
Ciąg (an) nazywamy ściśle (silnie) monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnący, malejący lub stały.
Przykłady:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – an. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanej różnicy oraz, że nϵN₁.
Jeśli otrzymana różnica nie jest jednoznaczna (nie ma stałego znaku), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem monotonicznym (jest niemonotoniczny).
Monotoniczność ciągu arytmetycznego:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu arytmetycznego (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an = r, różnica r w ciągu arytmetycznym jest stała [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – an. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanej różnicy.
Jeśli otrzymana różnica nie jest stała (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.
Przykłady:
Monotoniczność ciągu geometrycznego:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu geometrycznego (an), to należy wykazać iloraz an+1/an = q, iloraz q w ciągu geometrycznym jest stały [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy iloraz an+1/an = q. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanego ilorazu oraz a1.
Jeśli otrzymany iloraz nie jest stały (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.
Przykłady:
Post nr 501
Przykłady:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – an. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanej różnicy oraz, że nϵN₁.
Jeśli otrzymana różnica nie jest jednoznaczna (nie ma stałego znaku), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem monotonicznym (jest niemonotoniczny).
Wyznaczyć monotoniczność ciągu arytmetycznego (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an = r, różnica r w ciągu arytmetycznym jest stała [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – an. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanej różnicy.
Ciąg arytmetyczny
|
||
a₁>0
|
Monotoniczność
|
a₁<0
|
r>0
a₁=4,
r=2
Ten
ciąg to: 4, 6, 8, ...
|
Rosnący
an+1>an
an+1-an>0
|
r>0
a₁=-4,
r=2
Ten
ciąg to: -4, -2, 0, ...
|
r<0
a₁=4,
r=-2
Ten
ciąg to: 4, 2, 0, ...
|
Malejący
an+1<an
an+1-an<0
|
r<0
a₁=-4,
r=-2
Ten
ciąg to: -4,-6, -8, ...
|
r=0
a₁=4,
r=0
Ten
ciąg to: 4, 4, 4, ...
|
Stały
an+1=an
an+1-an=0
|
r=0
a₁=-4,
r=0
Ten
ciąg to: -4, -4, -4, ...
|
Przykłady:
Monotoniczność ciągu geometrycznego:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu geometrycznego (an), to należy wykazać iloraz an+1/an = q, iloraz q w ciągu geometrycznym jest stały [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy iloraz an+1/an = q. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanego ilorazu oraz a1.
Ciąg geometryczny
|
||
a₁>0
|
Monotoniczność
|
a₁<0
|
q>1
a₁=4,
q=2
Ten
ciąg to: 4, 8, 16, ...
|
Rosnący
|
0<q<1
q = ułamek
a₁=-4,
q=½
Ten
ciąg to: -4, -2, -1, ...
|
0<q<1
q = ułamek
a₁=4, q=½
Ten
ciąg to: 4, 2, 1, ...
|
Malejący
|
q>1
a₁=-4, q=2
Ten
ciąg to: -4, -8, -16, ...
|
q=1
a₁=4,
q=1
Ten
ciąg to: 4, 4, 4, ...
|
Stały
|
q=1
a₁=-4,
q=1
Ten
ciąg to: -4, -4, -4, ...
|
q=0
a₁=4,
q=0
Ten
ciąg to: 4, 0, 0, ...
|
Stały od wyrazu
drugiego
(ciąg liczbowy może być monotoniczny od dowolnego wyrazu)
a₁≠0, q=0
Ten ciąg to: a₁, 0, 0, 0, ...
jest ciągiem geometrycznym.
|
q=0
a₁=-4,
q=0
Ten
ciąg to: -4, 0, 0, ...
|
q<0
a₁=4,
q=-2
Ten
ciąg to: 4, -8, 16, ...
|
Naprzemienny
(lub przemienny)
Nie jest monotoniczny.
an ·an+1<0
|
q<0
a₁=-4,
q=-2
Ten
ciąg to: -4, 8, -16, ...
|
Przykłady:
Post nr 501
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz