Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu liczbowego, ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego



Monotoniczność ciągu




Monotoniczność ciągu: 
Ponieważ ciągi są funkcjami, więc analogicznie jak w przypadku funkcji możemy badać monotoniczność ciągów, korzystając z definicji funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej, stałej.

Ciąg (an) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego. 
Dla każdego nϵN   an+1 a=> an+1 – an > 0. 
Monotoniczność ciągu





Ciąg (an) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedzającego. 
Dla każdego nϵN    an+1 a=> an+1 – an < 0. 
Monotoniczność ciągu





Ciąg (an) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz jest równy (identyczny).  
Dla każdego nϵN   an+1 an => an+1 – an = 0. 
Monotoniczność ciągu






Ciąg (an) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy lub równy od wyrazu poprzedzającego.  
Dla każdego nϵN   an+1  a=> an+1 – an  0. 
Monotoniczność ciągu




Ciąg (an) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy lub równy od wyrazu poprzedzającego.  
Dla każdego nϵN  an+1  a=> an+1 – an  0. 
Monotoniczność ciągu






Ciąg (an) nazywamy monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest niemalejący lub nierosnący.
Ciąg (an) nazywamy ściśle (silnie) monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnący, malejący lub stały.

Przykłady:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – anTeraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanej różnicy oraz, że nϵN.
Monotoniczność ciągu


Monotoniczność ciągu
Monotoniczność ciągu

Jeśli otrzymana różnica nie jest jednoznaczna (nie ma stałego znaku), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem monotonicznym (jest niemonotoniczny). 
Monotoniczność ciągu








Monotoniczność ciągu
Monotoniczność ciągu arytmetycznego: 
Wyznaczyć monotoniczność ciągu arytmetycznego (an), to należy wykazać różnicę an+1 – a= r, różnica r w ciągu arytmetycznym jest stała [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – anTeraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanej różnicy.
Ciąg arytmetyczny
a₁>0
Monotoniczność
a₁<0
r>0

a₁=4, r=2

Ten ciąg to: 4, 6, 8, ...
Rosnący

an+1>an
an+1-an>0
r>0

a₁=-4, r=2

Ten ciąg to: -4, -2, 0, ...
r<0

a₁=4, r=-2

Ten ciąg to: 4, 2, 0, ...
Malejący

an+1<an
an+1-an<0
r<0

a₁=-4, r=-2

Ten ciąg to: -4,-6, -8, ...
r=0

a₁=4, r=0

Ten ciąg to: 4, 4, 4, ...
Stały

an+1=an
an+1-an=0
r=0

a₁=-4, r=0

Ten ciąg to: -4, -4, -4, ...
Jeśli otrzymana różnica nie jest stała (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. 

Przykłady:
Monotoniczność ciągu

















Monotoniczność ciągu geometrycznego: 
Wyznaczyć monotoniczność ciągu geometrycznego (an), to należy wykazać iloraz an+1/a= q, iloraz q w ciągu geometrycznym jest stały [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy iloraz an+1/a= q. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanego ilorazu oraz a1.
Ciąg geometryczny
a₁>0
Monotoniczność
a₁<0
q>1


a₁=4, q=2

Ten ciąg to: 4, 8, 16, ...
Rosnący


0<q<1
q = ułamek

a₁=-4, q=½

Ten ciąg to: -4, -2, -1, ...
0<q<1
q = ułamek


a₁=4, q=½

Ten ciąg to: 4, 2, 1, ...
Malejący


q>1


a₁=-4, q=2

Ten ciąg to: -4, -8, -16, ...
q=1

a₁=4, q=1

Ten ciąg to: 4, 4, 4, ...
Stały


q=1

a₁=-4, q=1

Ten ciąg to: -4, -4, -4, ...
q=0


a₁=4, q=0

Ten ciąg to: 4, 0, 0, ...
Stały od wyrazu drugiego
(ciąg liczbowy może być monotoniczny od dowolnego wyrazu)
a₁≠0, q=0
Ten ciąg to: a₁, 0, 0, 0, ...
jest ciągiem geometrycznym.
q=0


a₁=-4, q=0

Ten ciąg to: -4, 0, 0, ...
q<0

a₁=4, q=-2

Ten ciąg to: 4, -8, 16, ... 
Naprzemienny
(lub przemienny)
Nie jest monotoniczny.

an ·an+1<0

q<0

a₁=-4, q=-2

Ten ciąg to: -4, 8, -16, ... 
Jeśli otrzymany iloraz nie jest stały (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem geometrycznym. 

Przykłady:
Monotoniczność ciągu





Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu





Post nr 501

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.