Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500