Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub post nr 1-498

piątek, 10 stycznia 2014

Pole trójkąta wyznaczone poprzez pola

Pole trójkąta wyznaczone poprzez pola trójkątów wpisanych w ten trójkąt

Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.


Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

I sposób 


Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Niech P∆EFD = S1, P∆HGD = S2, P∆IJD = S3. Trójkąta ABC, EFD, HGD, IJD są podobne. Wysokości h1, h2, h3 poprowadzone z punktu D w trójkątach EFD, HGD, IJD są odpowiednio równe wysokością trójkątów ABD, BCD, ACD poprowadzonym z punktu D.

Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.

Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.
















































































II sposób

Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Można zauważyć, że trójkąt o polu S1 jest podobny do trójkąta ABC, trójkąt o polu S2 jest podobny do trójkąta BCA, trójkąt o polu S3 jest podobny do trójkąta ACB. 

Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.


III sposób


Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Niech S = P∆ABC a symbolami P12, P13, P23 wyznaczają odpowiednio pola czworokątów. Zatem pole trójkąta ABC jest sumą wszystkich pól:

S = S1 + S2 + S3 + P12  + P13 + P23

Można zauważyć, że pole P12 równoległoboku można wyznaczyć jako suma pól S1 i S2, pole P13 równoległoboku można wyznaczyć jako suma pól S1 i S3, pole P23 równoległoboku można wyznaczyć jako suma pól S2 i S3.


Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.

Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.
 
Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S1, S2, S3. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.


Post nr 344

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.