Pole trójkąta wyznaczone poprzez pola

Pole trójkąta wyznaczone poprzez pola trójkątów wpisanych w ten trójkąt

Przez punkt D położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono proste równoległe do boków trójkąta. Proste te dzielą trójkąta na sześć części, z których trzy są trójkątami o polach S₁, S₂, S₃. Wyznacz pole danego trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

I sposób 

Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Niech P_∆EFD = S₁, P_∆HGD = S_2, P_∆IJD = S₃. Trójkąta ABC, EFD, HGD, IJD są podobne. Wysokości h₁, h₂, h₃ poprowadzone z punktu D w trójkątach EFD, HGD, IJD są odpowiednio równe wysokością trójkątów ABD, BCD, ACD poprowadzonym z punktu D.

II sposób

Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Można zauważyć, że trójkąt o polu S₁ jest podobny do trójkąta ABC, trójkąt o polu S₂ jest podobny do trójkąta BCA, trójkąt o polu S₃ jest podobny do trójkąta ACB. 

III sposób

Punkt D leży wewnątrz trójkąta ABC. Niech S = P_∆ABC a symbolami P_12, P₁₃, P₂₃ wyznaczają odpowiednio pola czworokątów. Zatem pole trójkąta ABC jest sumą wszystkich pól:

S = S₁ + S₂ + S₃ + P_{12  +} P₁₃ + P₂₃

Można zauważyć, że pole P₁₂ równoległoboku można wyznaczyć jako suma pól S₁ i S₂, pole P₁₃ równoległoboku można wyznaczyć jako suma pól S₁ i S₃, pole P₂₃ równoległoboku można wyznaczyć jako suma pól S₂ i S₃.

 

Post nr 344