Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Długości boków trójkąta prostokątnego

Długości boków trójkąta prostokątnego

 

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.


Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  


Rozwiązanie:
- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa lub są równe
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ · |BC| · |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu nie uwzględniamy, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a · b = 420 wyznaczony z pola trójkąta. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a · b = 420
- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem mamy dwa takie trójkąty  20, 21, 29 lub 21, 20, 29.

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.


W tym zadaniu pokazano jak ważne jest prawidłowe sformułowanie treści zadania. W treści brakuje informacji która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zadanie jest z niedomiarem informacji, dlatego rozwiązaniem są dwa trójkąty. 



Treść zadania uzupełniono o informację "wiedząc, że AC jest krótszą przyprostokątną trójkąta ABC".  
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  

Rozwiązanie:
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ • |BC| • |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu uwzględniamy, że przyprostokątna b jest dłuższa od przyprostokątnej a (a<b)
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a • b = 420 wyznaczony ze stosunku długości odpowiednich boków tworzących proporcję. Korzystamy z własności podobieństwa trójkątów. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a • b = 420
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem szukany trójkąt to  20, 21, 29.






Post nr 410

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.