Długości boków trójkąta prostokątnego

 

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  

Rozwiązanie:

- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa lub są równe
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ · |BC| · |AD|. Zatem |BC| = 29

- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu nie uwzględniamy, która z przyprostokątnych jest dłuższa

- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a · b = 420 wyznaczony z pola trójkąta. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²

- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego

- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a · b = 420

- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem mamy dwa takie trójkąty  20, 21, 29 lub 21, 20, 29.

W tym zadaniu pokazano jak ważne jest prawidłowe sformułowanie treści zadania. W treści brakuje informacji która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zadanie jest z niedomiarem informacji, dlatego rozwiązaniem są dwa trójkąty. 

Treść zadania uzupełniono o informację "wiedząc, że AC jest krótszą przyprostokątną trójkąta ABC".  
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  

Rozwiązanie:
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ • |BC| • |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu uwzględniamy, że przyprostokątna b jest dłuższa od przyprostokątnej a (a<b)
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a • b = 420 wyznaczony ze stosunku długości odpowiednich boków tworzących proporcję. Korzystamy z własności podobieństwa trójkątów. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a • b = 420
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem szukany trójkąt to  20, 21, 29.

Post nr 410