Nie można dzielić przez zero

Dlaczego nie można dzielić przez 0?

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Działaniem sprawdzającym dzielenie jest mnożenie. Dlatego podzielić przez 0, to znaczy znaleźć taką liczbę, która pomnożona przez 0 w wyniku daje liczbę różną od 0. Dlatego podzielić przez 0 nie można bo każda liczba w iloczynie pomnożona przez 0, w wyniku daje 0, a nie liczbę różną od 0.

Ponieważ dzielenie definiujemy jako mnożenie przez odwrotność, nie można dzielić przez 0, gdyż nie istnieje liczba odwrotna do 0 tzn. nie istnieje liczba, która pomnożona przez 0, da element neutralny mnożenia czyli 1.
Zero nie może być dzielnikiem, ponieważ takie działanie nie ma sensu liczbowego i jest niewykonalne. Zatem zbliżmy się do zera nieskończenie blisko.

Jeśli niezerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z prawej strony 0 tj. 0+. Wtedy wartości są coraz większe i większe – rozbiegają w plus nieskończoność. 

Uwaga:
Nawias kwadratowy służy do oszacowania wyniku.
W nawiasie kwadratowym nie dzielimy przez 0, tylko przez liczbę, która jest nieskończenie blisko 0 z prawej strony 0. Dlatego jest to symbol, a nie liczba 1/0.


Jeśli niezerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z lewej strony 0 tj. 0^-. Wtedy wartości są coraz mniejsze i mniejsze – rozbiegają w minus nieskończoność. 

Uwaga:
Nawias kwadratowy służy do oszacowania wyniku.
W nawiasie kwadratowym nie dzielimy przez 0, tylko przez liczbę, która jest nieskończenie blisko 0 z lewej strony 0. Dlatego jest to symbol, a nie liczba 1/0.


Jak naszkicować wykres?

Przykład I

Jeśli dla dowolnego x, wartość wyrażenia w mianowniku ułamka jest równa 0, to jaką wartość powinniśmy wpisać do tabeli?

Oczywiście nie ma takiej wartości bo nie można dzielić przez 0.

Liczby dla których wartość mianownika ułamka jest równy 0 tworzą równania prostych prostopadłych do osi Ox. W naszym przykładzie x=0. Jeśli do wzoru funkcji w miejsce x, podstawimy liczbę 0, to nie można obliczyć wartości tej funkcji. O takich prostych mówimy wtedy, że są równaniami asymptot pionowych funkcji. Wykres funkcji będzie wtedy tylko zbliżał do tych asymptot pionowych. Niektóre funkcje mogą przecinać swoje asymptoty lub pokrywać się z nimi. 
Dziedziną funkcji jest przedział D_f =(-∞, 0) ∪ (0, +∞), dla x=0 funkcja nie jest ciągła. Równanie asymptoty pionowej należy szukać z lewej i prawej strony liczby 0. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty lewostronnej 0^- oraz prawostronnej  0⁺, aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach. Jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną 0^-, prawostronną 0⁺ lub obustronną 0^-, 0⁺.  Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej.

1+

Przykład II

Jeśli dla dowolnego x, wartość wyrażenia w mianowniku ułamka jest równa 0, to jaką wartość powinniśmy wpisać do tabeli?

Oczywiście nie ma takiej wartości bo nie można dzielić przez 0.

Liczby dla których wartość mianownika ułamka jest równy 0 tworzą równania prostych prostopadłych do osi Ox. W naszym przykładzie x=-4 i x=1. Jeśli do wzoru funkcji w miejsce x, podstawimy liczbę -4 lub 1, to nie można obliczyć wartości tej funkcji. O takich prostych mówimy wtedy, że są równaniami asymptot pionowych funkcji. Wykres funkcji będzie wtedy tylko zbliżał do tych asymptot pionowych. Niektóre funkcje mogą przecinać swoje asymptoty lub pokrywać się z nimi.
Dziedziną funkcji jest przedział D_f =(-∞, -4) ∪ (-4, 1) ∪ (1, +∞), dla x=-4 i x=1 funkcja nie jest ciągła. Równanie asymptoty pionowej należy szukać z lewej [asymptota lewostronna] i prawej [asymptota prawostronna] strony liczby -4 i 1. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty -4^-, -4⁺, 1^-, 1⁺, aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach. Jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną -4^-, 1^-, prawostronną -4⁺, 1⁺ lub obustronną -4^-, -4⁺, 1^-, 1⁺.  Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej.

Pamiętaj!
Każdy wykres funkcji wymaga przed naszkicowaniem wyznaczenia dziedziny tzw. założeń w obliczeniach, dla których funkcja przyjmuje sens liczbowy. Nie można do tabeli wpisywać tych argumentów funkcji, dla których nie przyjmuje sensu liczbowego. 

Sofizmat to zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia. Matematyka jako jedna z dziedzin nauki zawiera również błędne twierdzenia, które nazywamy sofizmatami.

Sofizmat

W nawiasie (4-3-1) zapisano liczbę 4-3-1=0, a następnie równanie obustronnie zostało podzielone przez (4-3-1) czyli 0. Zatem z prawdy otrzymaliśmy fałsz. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. Inaczej mówić z prawdy nigdy nie wynika fałsz.
Dlatego w podanym sofizmacie widać, że nie wolno dzielić przez 0 bo matematyka nie miałaby sensu. Wtedy wszystkie liczby by były równe.

Czy 0 dzieli się przez 0?
Jeśli zerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z prawej strony 0 tj. 0+ lub dąży do 0 z lewej strony 0 tj. 0^-. Wtedy iloraz jest równy 0.

Jeśli licznik ułamka, który zbliża do 0 z prawej 0+ lub lewej  0^- strony 0 podzielimy przez taką samą liczbę. Wtedy iloraz jest równy 1.

Wynik dzielenia 0 przez 0 jest niejednoznaczny. 
[0/0] to także jeden z symboli nieoznaczonych. Nie oznacza dzielenia 0 przez 0.

 Dlatego wynik dzielenia przez 0 jest nieokreślony?

Zawsze należy wyznaczyć dziedzinę [założenie] wyrażenia wymiernego, żeby nie było dzielenia przez 0.

W wyrażeniu dla x:

Sprawdź jak wyznaczyć DZIEDZINĘ FUNKCJI 40 przykładów


Sprawdź na kalkulatorze jaki wynik otrzymasz 6:0=?

Twój kalkulator wyświetla:
*Błąd (?)
*Nie można dzielić przez 0 (?)
*Infinity (?)
*Error: DivByZero (?)
*Error (?)
*You cannot divide by zero! (?)
*∞ (?)

Dzielić przez zero nie można wcale

Bo pani Zielińska da za to pałę.

Z mnożeniem sprawa wygląda inaczej

Zero w wyniku zawsze zobaczę.
[Wierszyk: Uczeń Maksymilian Heller, Źródło: Kto z nami rymuje ten matmę czuje]

Post nr 504

Długości boków trójkąta prostokątnego

 

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  

Rozwiązanie:

- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa lub są równe
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ · |BC| · |AD|. Zatem |BC| = 29

- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu nie uwzględniamy, która z przyprostokątnych jest dłuższa

- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a · b = 420 wyznaczony z pola trójkąta. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²

- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego

- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a · b = 420

- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem mamy dwa takie trójkąty  20, 21, 29 lub 21, 20, 29.

W tym zadaniu pokazano jak ważne jest prawidłowe sformułowanie treści zadania. W treści brakuje informacji która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zadanie jest z niedomiarem informacji, dlatego rozwiązaniem są dwa trójkąty. 

Treść zadania uzupełniono o informację "wiedząc, że AC jest krótszą przyprostokątną trójkąta ABC".  
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  

Rozwiązanie:
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ • |BC| • |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu uwzględniamy, że przyprostokątna b jest dłuższa od przyprostokątnej a (a<b)
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a • b = 420 wyznaczony ze stosunku długości odpowiednich boków tworzących proporcję. Korzystamy z własności podobieństwa trójkątów. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a • b = 420
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem szukany trójkąt to  20, 21, 29.

Post nr 410

Równanie z modułem oraz pi

Sofizmat. Czy pi (ludolfina) jest zawsze równe 3?

 

Znaleźć błąd w rozumowaniu lub uznać za prawidłowe.

Szukamy błędu w powyższym rozumowaniu:

 

Błąd w rozumowaniu polega na tym, że z równości (3-x)²=(π-x)² nie wynika, że 3-x=π-x. 

Aby uwolnić lewą i prawą stronę naszego równania od ^2, należy pomnożyć jednocześnie strony przez pierwiastek drugiego stopnia przy założeniu, że są tego samego znaku po wykonaniu działania.
Wtedy z równości √(3-x)²=√(π-x)² wynika, że |3-x|=|π-x|.

Sprawdzamy zatem czy rozwiązując ostatnie równanie z wartością bezwzględną |3-x|=|π-x|, otrzymamy powyższe rozwiązanie x=(π+3)/2?

 

Lewa i prawa strona naszego równania |3-x|=|π-x| jest sobie równa wtedy i tylko wtedy, gdy x=(π+3)/2 .

Post nr 294

Równanie wymierne

Sofizmat. Znaleźć błąd w rozumowaniu podanego rozwiązania równania wymiernego

 

W podanym rozwiązaniu równania wymiernego  błędnym rozumowaniem jest podzielenie lewej i prawej strony równania przez (x-5), czyli podzielenie przez 0.

Poprawne rozwiązanie podanego równania wymiernego. 

 

Post nr 276

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

 

Uczeń otrzymał do rozwiązania zadanie. 

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 10 cm a krawędź boczna 7 cm.

Rozwiązując zadanie otrzymał, że wysokości tego ostrosłupa nie można obliczyć  Wyjaśnij dlaczego otrzymał taki wynik? Czy może w tym zadaniu jest błąd?

Wyjaśnienie:

Na podanym rysunku widać, jaką minimalną długość musi mieć krawędź boczna SC, żeby można było utworzyć ostrosłup.

 

Krawędź boczna SC w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS musi być dłuższa niż połowa długości przekątnej podstawy. 

|SC| > ½ |AC|

Post nr 261

Czy 1 jest równe -1

Sofizmat -> Czy -1 jest równe 1?

Znaleźć błąd w rozumowaniu lub uznać za prawidłowe.

Wyjaśnienie:

W rozumowaniu (sofizmacie) tym wykorzystano pierwiastek kwadratowy z (-1) czyli liczbę zespoloną (jednostkę urojoną) i, tzn.  i²= -1, √-1=i.

Liczba ta nie jest co prawda liczbą rzeczywistą, wiemy, że liczby zespolone można również dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić zupełnie podobne jak liczby rzeczywiste.

Błędny jest drugi krok dowodu, gdy obliczamy na liczbach zespolonych pierwiastek ilorazu nie musi równać się ilorazowi pierwiastków.

Post nr 258

Czy -5 jest równe 5

Sofizmat - Czy (-5) jest równe 5?

Znaleźć błąd w rozumowaniu lub uznać za prawidłowe.

Rozumowanie jest prawidłowe <=>, gdy podstawą potęgi jest liczba rzeczywista większa od 0. 

Post nr 220