Twierdzenie Pitagorasa [2]
Przykład: 3² + 4² = 5²
Kwadraty liczb
Overall Progress
0%
0% correct
Score: 0
Post nr 550
Pokazywanie postów oznaczonych etykietą Twierdzenie Pitagorasa. Pokaż wszystkie posty
Pokazywanie postów oznaczonych etykietą Twierdzenie Pitagorasa. Pokaż wszystkie posty
Twierdzenie Pitagorasa kalkulator [1]
Twierdzenie Pitagorasa 1
Przykład: 32 + 42 = 52
Kwadraty liczb
Overall Progress
0%
0% correct
Score: 0
Post nr 549
Wysokość wieży
Wyznacz wysokość wieży
Wierzchołek wieży widać z poziomu ziemi pod kątem 30ᴼ. Z odległości o 10 m mniejszej wierzchołek ten widać pod kątem 45ᴼ. Obliczyć wysokość wieży.
I sposób
Rozwiązanie:
- należy uzupełnić pozostałe miary kątów
- należy zauważyć, że miary kątów trójkąta ACD są równe 30ᴼ, 60ᴼ, 90ᴼ.
- zatem podany trójkąt ACD to połowa trójkąta równobocznego o wysokości AC
- należy zauważyć, że miary kątów trójkąta ACD są równe 30ᴼ, 60ᴼ, 90ᴼ.
- zatem podany trójkąt ACD to połowa trójkąta równobocznego o wysokości AC
- wyznaczamy wysokości wieży z równości długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 2x, gdzie x to wysokość wieży.
II sposób
Rozwiązanie:
- należy na odcinku BC zbudować trójkąt równoboczny o boku długości BC
- korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BED wyznaczając wysokość wieży.
- korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BED wyznaczając wysokość wieży.
III sposób
Rozwiązanie:
- korzystamy z własności funkcji trygonometrycznych tg30ᴼ lub tg60ᴼ w trójkącie ACD.
Post nr 476
Długości boków trójkąta prostokątnego
Długości boków trójkąta prostokątnego
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.
Rozwiązanie:
- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa lub są równe
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ · |BC| · |AD|. Zatem |BC| = 29
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ · |BC| · |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu nie uwzględniamy, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a · b = 420 wyznaczony z pola trójkąta. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a · b = 420
- obliczamy b z pierwszego układu równań a · b = 420
- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem mamy dwa takie trójkąty 20, 21, 29 lub 21, 20, 29.
W tym zadaniu pokazano jak ważne jest prawidłowe sformułowanie treści zadania. W treści brakuje informacji która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zadanie jest z niedomiarem informacji, dlatego rozwiązaniem są dwa trójkąty.
Treść zadania uzupełniono o informację "wiedząc,
że AC jest krótszą przyprostokątną trójkąta ABC".
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.
Rozwiązanie:
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ • |BC| • |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu uwzględniamy, że przyprostokątna b jest dłuższa od przyprostokątnej a (a<b)
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a • b = 420 wyznaczony ze stosunku długości odpowiednich boków tworzących proporcję. Korzystamy z własności podobieństwa trójkątów. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a • b = 420
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem szukany trójkąt to 20, 21, 29.
Post nr 410
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ • |BC| • |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu uwzględniamy, że przyprostokątna b jest dłuższa od przyprostokątnej a (a<b)
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a • b = 420 wyznaczony ze stosunku długości odpowiednich boków tworzących proporcję. Korzystamy z własności podobieństwa trójkątów. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a • b = 420
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem szukany trójkąt to 20, 21, 29.
Post nr 410
Subskrybuj:
Posty (Atom)