Sześć kół stycznych wokół koła tworzących wierzchołki sześciokąta

Sześć kół stycznych wokół koła w sposób tworzący wierzchołki sześciokąta foremnego

 

Dane jest koło o promieniu długości r wokół, którego wyznaczono sześć kół stycznych do tego koła o promieniu długości r, i każde dwa koła wokół tego koła są do siebie styczne. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami kolejno są: środek dowolnego stycznego koła do tego koła, środek koła do niego przyległego, środek koła dwukrotnie następnego do przyległego. Wiedząc, że środek dowolnego stycznego koła leży naprzeciw środka koła dwukrotnie następnego do przyległego. Różnica między dwoma najdłuższymi środkami leżącym naprzeciw siebie tych kół jest równa 10.

Rozwiązanie: 
- wyznaczmy długość odcinka łączącego  środek dowolnego stycznego koła ze środkiem koła leżącego naprzeciw środka koła dwukrotnie następnego do przyległego, oznaczamy jako |AD|=4r
- wyznaczamy długość odcinka łączącego środek dowolnego stycznego koła do tego koła ze środkiem koła do niego przyległego |CD|=2r - korzystamy z twierdzenie Pitagorasa w celu wyznaczenia długości odcinka AC łączącego środek koła do niego przyległego ze  środkiem koła dwukrotnie następnego do przyległego, |AC|² = |AD|²  - |CD|²

- z różnicy między dwoma najdłuższymi środkami leżącym naprzeciw siebie tych kół obliczamy długość promienia r = 5(2 + √3)
 - wyznaczamy pole trójkąta ACD, S ∆ ACD = (|AC| · |CD|)/2 podstawiając wyznaczone odpowiednie wartości, otrzymujemy wzór na pole naszego trójkąta S ∆ ACD = 2r²√3. 

Jeżeli przez wszystkie środki kół stycznych do koła wykreślimy koło, to korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku AD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Zatem miara kąta wpisanego ACD jest równa 90°, ponieważ opiera się na średnicy AD.

 Jeżeli trójkąt ACD jest trójkątem prostokątnym, to stanowi połowę prostokąta ACDF podzielonego poprzez przekątną AD.

Ponadto, jeżeli połączymy odpowiednio wszystkie środki kół stycznych do koła, to otrzymamy sześciokąt foremny o boku długości 2r lub sześć trójkątów równobocznych o boku długości 2r.

Zobacz także zadanie z obliczonym polem sześciokąta foremnego, w którym różnica między dłuższą  i krótszą przekątną sześciokąta foremnego wynosi 8 (więcej)

Post nr 418