Tunele w kostce sześciennej zbudowanej z kart

14 tuneli w tym 6 kwadratowych i 8 trójkątnych prowadzących do środka sześcianu foremnego zbudowanego z kart, George Hart

 

Źródło: Animacja i opis George Hart

Stanowi ciekawą rzeźbę 10 cm kostki. Powinien on być wyświetlany stojący na rogu, jak przedstawiono, 15 cm wysokości. Pamiętaj, że to jest trudniejsze niż się wydaje i wymaga trochę starań, aby uniknąć zginania lub uszkodzenia karty. Mamy wstępnie wycięte szczeliny w każdej karcie z właściwą długością i kątami.

Źródło: Zdjęcie i opis George Hart

Przy prawidłowym montażu, istnieje 6 tuneli kwadratowych prowadzących do centrum, jak ten pokazany powyżej. Każdy kwadratowy tunel zaczyna się w środku ściany powierzchni, przechodzi przez środek kostki sześciennej i do przeciwległej ściany powierzchni. Boki tunelu są obrócone o 45 stopni w stosunku do boków sześciennej kostki.

Źródło: Zdjęcie i opis George Hart

Istnieje również 8 trójkątnych tuneli prowadzących do centrum, jak ten pokazany powyżej. Każdy zaczyna się w kącie narożnika (wierzchołka), przechodzi przez środek sześcianu, aż do przeciwległego narożnika (wierzchołka). Więc centrum sześcianu jest kompleksem tuneli układów przecinających się na czternaście sposobów wyjść.

Film przedstawiający proces budowania sześcianu z kart z 14 tunelami w tym 6 tuneli kwadratowych i 8 tuneli trójkątnych.

Źródło: Film George Hart

George Hart przedstawił również ciekawe rzeźby z ołówków (więcej)


Post nr 437

Teoria Wallace–Bolyai–Gerwien

Teoria Wallace–Bolyai–Gerwien dla równości pól dwóch wielokątów

 

Teoria Wallace–Bolyai–Gerwien

pokazuje, że biorąc pod uwagę dowolne dwa wielokąty o tej samej powierzchni, można zbudować jeden w skończonej liczbie kawałków wielokątów tak, że kawałki te mogą być uporządkowane, tworząc dokładnie drugi wielokąt.

Pole kwadratu równe polu pięciokąta foremnego (Źródło: Zdjęcie)

Pole kwadratu równe polu sześciokąta foremnego (Źródło: Zdjęcie)

 Pole kwadratu równe polu ośmiokąta foremnego (Źródło: Zdjęcie)

W geometrii, twierdzenie Wallace-Bolyai-Gerwien, nazwane od autorów William Wallace, Farkas Bolyai i Pawła Gerwien, stwierdza, że dwie figury płaskie o równych polach  są equidecomposable; tzn. można wyciąć najpierw na kawałki do skończenie wielu wielokątów i zmienić elementy tak, aby uzyskać drugi wielokąt.

"Reorganizacja" oznacza, że można zastosować przesunięcie i obrót do każdego kawałka wielokąta. 

  Źródło: Animacja zdjęć

Dom, który dostosowuje się do czterech pór roku.

Dom został zaprojektowany przez firmę D*
Animacja zdjęć

Post nr 434

Sześć kół stycznych wokół koła tworzących wierzchołki sześciokąta

Sześć kół stycznych wokół koła w sposób tworzący wierzchołki sześciokąta foremnego

 

Dane jest koło o promieniu długości r wokół, którego wyznaczono sześć kół stycznych do tego koła o promieniu długości r, i każde dwa koła wokół tego koła są do siebie styczne. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami kolejno są: środek dowolnego stycznego koła do tego koła, środek koła do niego przyległego, środek koła dwukrotnie następnego do przyległego. Wiedząc, że środek dowolnego stycznego koła leży naprzeciw środka koła dwukrotnie następnego do przyległego. Różnica między dwoma najdłuższymi środkami leżącym naprzeciw siebie tych kół jest równa 10.

Rozwiązanie: 
- wyznaczmy długość odcinka łączącego  środek dowolnego stycznego koła ze środkiem koła leżącego naprzeciw środka koła dwukrotnie następnego do przyległego, oznaczamy jako |AD|=4r
- wyznaczamy długość odcinka łączącego środek dowolnego stycznego koła do tego koła ze środkiem koła do niego przyległego |CD|=2r - korzystamy z twierdzenie Pitagorasa w celu wyznaczenia długości odcinka AC łączącego środek koła do niego przyległego ze  środkiem koła dwukrotnie następnego do przyległego, |AC|² = |AD|²  - |CD|²

- z różnicy między dwoma najdłuższymi środkami leżącym naprzeciw siebie tych kół obliczamy długość promienia r = 5(2 + √3)
 - wyznaczamy pole trójkąta ACD, S ∆ ACD = (|AC| · |CD|)/2 podstawiając wyznaczone odpowiednie wartości, otrzymujemy wzór na pole naszego trójkąta S ∆ ACD = 2r²√3. 

Jeżeli przez wszystkie środki kół stycznych do koła wykreślimy koło, to korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku AD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Zatem miara kąta wpisanego ACD jest równa 90°, ponieważ opiera się na średnicy AD.

 Jeżeli trójkąt ACD jest trójkątem prostokątnym, to stanowi połowę prostokąta ACDF podzielonego poprzez przekątną AD.

Ponadto, jeżeli połączymy odpowiednio wszystkie środki kół stycznych do koła, to otrzymamy sześciokąt foremny o boku długości 2r lub sześć trójkątów równobocznych o boku długości 2r.

Zobacz także zadanie z obliczonym polem sześciokąta foremnego, w którym różnica między dłuższą  i krótszą przekątną sześciokąta foremnego wynosi 8 (więcej)

Post nr 418