Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500

Promień okręgu stycznego do dwóch okręgów

Promień mniejszego okręgu stycznego do dwóch większych okręgów wpisanych w prostokąt

W prostokąt wpisano trzy parami styczne okręgi w ten sposób, że dwa z nich są styczne do trzech boków, prostokąta, a trzeci jest styczny do jednego z boków prostokąta (patrz rysunek). Oblicz promień okręgu EF mniejszego okręgu jeżeli promień większego okręgu jest równy R.

Rozwiązanie:
- łączymy środki okręgów większego i mniejszego z punktem styczności większych okręgów, otrzymujemy w ten sposób trójkąt prostokątny
- korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątne tego trójkąta mają długość R, R-|EF| a przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość R+|EF|
- obliczmy z otrzymanej równości długość odcinka EF. Długość EF jest długością promienia mniejszego okręgu.

Post nr 428

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód

 

Jeżeli na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest opisany okrąg  i w ten trójkąt jest wpisany okrąg, to można wykazać, że:

1⁰. W trójkącie prostokątnym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Ponadto:

1⁰. Wyznaczając promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny należy różnicę sumy długości przyprostokątnych a i a trójkąta ABC pomniejszyć o długość przeciwprostokątnej a√2 i podzielić przez 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnych równoramienny jest równy średniej arytmetycznej różnicy sumy długości przyprostokątnych (a i a) i długości przeciwprostokątnej a√2.

2⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe ilorazowi długości kwadratu przyprostokątnej a przez 2.
S ∆ ABC = a²/2.
3⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe iloczynowi średniej arytmetycznej długości obwodu pomnożone przez długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Pole S ∆ ABC = p · r dowodził wzór Herona.
S ∆ ABC = p · r, gdzie p = 2a + a√2.
4⁰. Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny:

Wykażemy, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Wykażemy, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny jest równa r = (2a + a√2)/2 i zwraca nam wzór na pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a.

Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Zobacz także, jak wyznaczyć wzór na promień okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie prostokątnym (więcej).


Post nr 421 

Sześć kół stycznych wokół koła tworzących wierzchołki sześciokąta

Sześć kół stycznych wokół koła w sposób tworzący wierzchołki sześciokąta foremnego

 

Dane jest koło o promieniu długości r wokół, którego wyznaczono sześć kół stycznych do tego koła o promieniu długości r, i każde dwa koła wokół tego koła są do siebie styczne. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami kolejno są: środek dowolnego stycznego koła do tego koła, środek koła do niego przyległego, środek koła dwukrotnie następnego do przyległego. Wiedząc, że środek dowolnego stycznego koła leży naprzeciw środka koła dwukrotnie następnego do przyległego. Różnica między dwoma najdłuższymi środkami leżącym naprzeciw siebie tych kół jest równa 10.

Rozwiązanie: 
- wyznaczmy długość odcinka łączącego  środek dowolnego stycznego koła ze środkiem koła leżącego naprzeciw środka koła dwukrotnie następnego do przyległego, oznaczamy jako |AD|=4r
- wyznaczamy długość odcinka łączącego środek dowolnego stycznego koła do tego koła ze środkiem koła do niego przyległego |CD|=2r - korzystamy z twierdzenie Pitagorasa w celu wyznaczenia długości odcinka AC łączącego środek koła do niego przyległego ze  środkiem koła dwukrotnie następnego do przyległego, |AC|² = |AD|²  - |CD|²

- z różnicy między dwoma najdłuższymi środkami leżącym naprzeciw siebie tych kół obliczamy długość promienia r = 5(2 + √3)
 - wyznaczamy pole trójkąta ACD, S ∆ ACD = (|AC| · |CD|)/2 podstawiając wyznaczone odpowiednie wartości, otrzymujemy wzór na pole naszego trójkąta S ∆ ACD = 2r²√3. 

Jeżeli przez wszystkie środki kół stycznych do koła wykreślimy koło, to korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku AD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Zatem miara kąta wpisanego ACD jest równa 90°, ponieważ opiera się na średnicy AD.

 Jeżeli trójkąt ACD jest trójkątem prostokątnym, to stanowi połowę prostokąta ACDF podzielonego poprzez przekątną AD.

Ponadto, jeżeli połączymy odpowiednio wszystkie środki kół stycznych do koła, to otrzymamy sześciokąt foremny o boku długości 2r lub sześć trójkątów równobocznych o boku długości 2r.

Zobacz także zadanie z obliczonym polem sześciokąta foremnego, w którym różnica między dłuższą  i krótszą przekątną sześciokąta foremnego wynosi 8 (więcej)

Post nr 418