Promień okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym
Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.
Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość
promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie
równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu
(koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a+b=2a.
Rozwiązanie:
Otwórz aplet
Znamy twierdzenie:
Znamy twierdzenie:
Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na
czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe
= 180o tzn.:
|∡BAD|
+ |∡BCD|
= |∡ABC|
+ |∡ADC|
= 180o.
Twierdzenie II. Okrąg (koło) można wpisać w
czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są sobie równe
|AB| + |CD| = |AD| + |BC|.
- wyznaczamy długość odcinków |BC|=|BD|
korzystając z twierdzenia II, oraz
długości odcinków |AE|, |EB| wiedząc, że podstawa dolna trapezu
równoramiennego |AB|=a, podstawa górna |CD|=b
- długość promienia okręgu wpisanego w trapez równoramienny jest równa połowie
długości wysokości DE tego trapezu r = |DE|/2
- korzystamy z twierdzenia sinusów wiedząc, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta leżącego naprzeciw tej przekątnej jest równy średnicy promienia okręgu (koła) opisanego na tym trójkącie |BD|/sinβ = 2R
- wyznaczmy wartość sinβ korzystając z trójkąta AED
- z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku BD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku BD, zatem |∡BAD|=|∡BLG|=|∡DLG| bo |∡BLD| = 2 · |∡BAD|
- wyznaczmy długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym podstawiając wartość wyznaczonego sinusa
- długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym obliczamy ze wzoru:
iloraz iloczynu długości przekątnej razy długość ramienia trapezu przez podwojony iloczyn długości wysokości.
- korzystamy z twierdzenia sinusów wiedząc, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta leżącego naprzeciw tej przekątnej jest równy średnicy promienia okręgu (koła) opisanego na tym trójkącie |BD|/sinβ = 2R
- wyznaczmy wartość sinβ korzystając z trójkąta AED
- z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku BD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku BD, zatem |∡BAD|=|∡BLG|=|∡DLG| bo |∡BLD| = 2 · |∡BAD|
- wyznaczmy długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym podstawiając wartość wyznaczonego sinusa
- długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym obliczamy ze wzoru:
iloraz iloczynu długości przekątnej razy długość ramienia trapezu przez podwojony iloczyn długości wysokości.
Wykażemy, że wyprowadzone wzory na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwracają wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a+b=2a.
Post nr 417
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz