Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500

Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)

Jak udowodnić, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola, gdy ramię trójkata to przekątna trapezu.

Udowodnij, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola powierzchni. Wiedząc, że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu, a ramiona trójkąta są równolegle do ramion trapezu. Przekątna trapezu jest równa ramieniu trójkąta.

Rozwiązanie: 

Znamy twierdzenie:

Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe 180^o tzn.: |∡BAD| + |∡BCD| = |∡ABC| + |∡ADC| = 180^o.

Post nr 475

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód

 

Jeżeli na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest opisany okrąg  i w ten trójkąt jest wpisany okrąg, to można wykazać, że:

1⁰. W trójkącie prostokątnym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Ponadto:

1⁰. Wyznaczając promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny należy różnicę sumy długości przyprostokątnych a i a trójkąta ABC pomniejszyć o długość przeciwprostokątnej a√2 i podzielić przez 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnych równoramienny jest równy średniej arytmetycznej różnicy sumy długości przyprostokątnych (a i a) i długości przeciwprostokątnej a√2.

2⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe ilorazowi długości kwadratu przyprostokątnej a przez 2.
S ∆ ABC = a²/2.
3⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe iloczynowi średniej arytmetycznej długości obwodu pomnożone przez długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Pole S ∆ ABC = p · r dowodził wzór Herona.
S ∆ ABC = p · r, gdzie p = 2a + a√2.
4⁰. Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny:

Wykażemy, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Wykażemy, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny jest równa r = (2a + a√2)/2 i zwraca nam wzór na pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a.

Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Zobacz także, jak wyznaczyć wzór na promień okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie prostokątnym (więcej).


Post nr 421 

Twierdzenie sinusów

Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie sinusów

 

Wyprowadzamy związki między bokami i kątami dowolnego trójkąta.
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć na trzy sposoby korzystając ze wzoru na pole trójkąta, które jest równe połowie długości iloczynu długości boków zawartych między kątem i miarą kąta zawartego między tymi bokami. 

Porównujemy pola otrzymując związki między bokami a sinusami kątów w tym trójkącie.

Trójkąt BCO jest trójkątem równoramiennym, bo |CO|=|OB|=R, gdzie R to promień okręgu opisanego na tym trójkącie, |∡COD| = α. Wynika z własności kąta środkowego i wpisanego opartego na tym samym łuku BC.

Otwórz aplet 

W każdym trójkącie stosunek długości boków trójkąta do sinusów kątów przeciwległych tym bokom jest stały i równa się średnicy koła opisanego na tym trójkącie, tzn.: a/sin α = b/sinβ = c/sinγ = 2R

Wzór na pole trójkąta ABC, gdy: |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a oraz R jest długością promienia koła opisanego na tym trójkącie wyznaczamy w sposób następujący i zapisujemy S ∆ ABC  = abc/4R.

Otwórz aplet

  

Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać dowolne trójkąty, gdy znane są:
- długości dwóch boków trójkąta oraz miara jednego z kątów leżących naprzeciw jednego z danych boków
- miary dwóch kątów trójkąta oraz długość jednego z boków
- długość promienia koła opisanego na trójkącie oraz długość dwóch boków lub miary dwóch kątów.
Obliczanie długości boków oraz miar kątów w trójkącie nazywamy rozwiązywaniem trójkąta.


Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie cosinusów (więcej)

Post nr 415