Promień okręgu wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym

Promień okręgu (koła) wpisanego i opisanego  na trapezie równoramiennym

Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β. 

Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a+b=2a. 

Rozwiązanie:

Otwórz aplet

Znamy twierdzenie:

Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe  = 180^o tzn.: |∡BAD| + |∡BCD| = |∡ABC| + |∡ADC| = 180^o.

Twierdzenie II. Okrąg (koło) można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są sobie równe |AB| + |CD| = |AD| + |BC|.

- wyznaczamy długość odcinków |BC|=|BD| korzystając z twierdzenia II, oraz  długości odcinków |AE|, |EB| wiedząc, że podstawa dolna trapezu równoramiennego |AB|=a, podstawa górna |CD|=b

- długość promienia okręgu wpisanego w trapez równoramienny jest równa połowie długości wysokości DE tego trapezu r = |DE|/2
- korzystamy z twierdzenia sinusów wiedząc, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta leżącego naprzeciw tej przekątnej jest równy średnicy promienia okręgu (koła) opisanego na tym trójkącie |BD|/sinβ = 2R
- wyznaczmy wartość sinβ korzystając z trójkąta AED
- z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku BD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku BD, zatem |∡BAD|=|∡BLG|=|∡DLG| bo |∡BLD| = 2 · |∡BAD|
- wyznaczmy długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym podstawiając wartość wyznaczonego sinusa
- długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym obliczamy ze wzoru:
iloraz iloczynu długości przekątnej razy długość ramienia trapezu przez podwojony iloczyn długości wysokości.

 

 

Otwórz aplet

Otwórz aplet 

Wykażemy, że wyprowadzone wzory na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwracają wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a+b=2a. 

Post nr 417

Twierdzenie sinusów

Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie sinusów

 

Wyprowadzamy związki między bokami i kątami dowolnego trójkąta.
Pole trójkąta ABC możemy obliczyć na trzy sposoby korzystając ze wzoru na pole trójkąta, które jest równe połowie długości iloczynu długości boków zawartych między kątem i miarą kąta zawartego między tymi bokami. 

Porównujemy pola otrzymując związki między bokami a sinusami kątów w tym trójkącie.

Trójkąt BCO jest trójkątem równoramiennym, bo |CO|=|OB|=R, gdzie R to promień okręgu opisanego na tym trójkącie, |∡COD| = α. Wynika z własności kąta środkowego i wpisanego opartego na tym samym łuku BC.

Otwórz aplet 

W każdym trójkącie stosunek długości boków trójkąta do sinusów kątów przeciwległych tym bokom jest stały i równa się średnicy koła opisanego na tym trójkącie, tzn.: a/sin α = b/sinβ = c/sinγ = 2R

Wzór na pole trójkąta ABC, gdy: |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a oraz R jest długością promienia koła opisanego na tym trójkącie wyznaczamy w sposób następujący i zapisujemy S ∆ ABC  = abc/4R.

Otwórz aplet

  

Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać dowolne trójkąty, gdy znane są:
- długości dwóch boków trójkąta oraz miara jednego z kątów leżących naprzeciw jednego z danych boków
- miary dwóch kątów trójkąta oraz długość jednego z boków
- długość promienia koła opisanego na trójkącie oraz długość dwóch boków lub miary dwóch kątów.
Obliczanie długości boków oraz miar kątów w trójkącie nazywamy rozwiązywaniem trójkąta.


Rozwiązywanie trójkąta poprzez twierdzenie cosinusów (więcej)

Post nr 415