Klasyfikacja czworokątów

Na podstawie szkicu człowieka można sprawdzić jakim czworokątem jest dana figura płaska.
1. Kwadrat jest rombem, prostokątem, równoległobokiem, trapezem, deltoidem i czworokątem.
2. Romb jest równoległobokiem, trapezem, deltoidem i czworokątem.
3. Prostokąt jest równoległobokiem, trapezem i czworokątem.
4. Równoległobok jest trapezem i czworokątem.
5. Trapez jest czworokątem.
6. Deltoid jest czworokątem.


                           Klasyfikacja najważniejszych czworokątów




I Kwadrat
Romb, który ma wszystkie kąty proste, to kwadrat.
Prostokąt, który ma wszystkie boki równe, to kwadrat.
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste. 

Przekątne kwadratu:
- są równej długości
- przecinają się w połowie
- są do siebie prostopadłe
- dzielą kąty kwadratu na połowy. 

II Romb
Równoległobok, który ma wszystkie boki równe, to romb.
Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości. 

W rombie:
- przeciwległe kąty mają równe miary
- przeciwległe boki są równoległe
- przekątne przecinają się w połowie
- przekątne są prostopadłe
- przekątne dzielą kąty rombu na połowy.

III Prostokąt
Równoległobok, który ma wszystkie kąty proste, to prostokąt.
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. 

W prostokącie:
- przeciwległe boki mają równe długości
- przekątne są równej długości
- przekątne przecinają się w połowie. 

IV Równoległobok
Trapez, który ma dwie pary boków równoległych, to równoległobok.

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. 

W równoległoboku:
- przeciwległe boki mają równe długości
- przeciwległe kąty mają równe miary
- przekątne przecinają się w połowie.


V Trapez
Każdy czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych, to trapez.  
Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

W trapezie równoramiennym:
- ramiona są równej długości
- przekątne są równej długości
- kąty między ramionami a podstawą są równe

W trapezie prostokątnym:
- jedno ramię jest prostopadłe do podstaw i jest wysokością trapezu.

W dowolnym trapezie:
- suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu jest równa 180°.


VI Deltoid
Deltoid to czworokąt, w którym dwie pary sąsiednich boków są równej długości.

W deltoidzie:
- przekątne są prostopadłe
- jedna przekątne dzieli drugą na połowę
- w jednej z par kątów przeciwległych kąty mają tę samą miarę.  

Klasyfikacja najważniejszych czworokątów

Wielokąt wypukły to taki, w którym każdy odcinek łączący dwa punkty wewnątrz tego wielokąta zawiera się w tym wielokącie.
Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy wklęsłym. 

Post nr 509 

Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500

Trójkąt prostokątny wpisany w trapez równoramienny

W trapez równoramienny wpisano trójkąt prostokątny

W trapez równoramienny wpisano trójkąt prostokątny w taki sposób, że kąt prosty trójkąta prostokątnego podzielił krótszą podstawę trapezu na odcinki 8 i 3, a przeciwprostokątna trójką prostokątnego zawiera się w dłuższej podstawie trapezu. Wyznacz długość dłuższej podstawy trapezu równoramiennego wiedząc, że wysokość trapezu wynosi 6.

Rozwiązanie:

Post nr 492

Stosunek pól w trapezie równoramiennym

Jak wykazać stosunek pól trójkątów w trapezie równoramiennym

W trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB| = a i |CD| = b przekątne przecinają się w punkcie S. Wykaż, że stosunek pola trójkąta ABS do pola trójkąta CDS  jest równy a²/b².

Rozwiązanie:

- wiemy, że |AE|=|EB| i |CF|=|FD|
- SE i SF, to wysokości trójkątów ABS i CDS
- wyznaczamy stosunek pól trójkątów ABS i CDS o podstawach odpowiednio AB i CD oraz wysokości odpowiednio SE i SF.

Można wykazać, że stosunek pól trójkątów ABS i CDS, gdzie S to punkt przecięcia się przekątnych w trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB|= a i |CD|= b jest równy a²/b².

Post nr 479

Pola trójkątów w trapezie równoramiennym

Jak obliczyć pola trójkątów w trapezie równoramiennym wyznaczone poprzez jego przekątne?

Pole trapezu równoramiennego jest równe 36, a stosunek długości podstaw wynosi 1:2. Oblicz pola czterech trójkątów, na które dzielą ten trapez jego przekątne. 

Rozwiązanie:

- oznaczamy pola trójkątów CED, ABE, AED, BEC odpowiednio S₁, S₂, S₃, S₄
- pole S trapezu ABCD jest równe sumie pól trójkątów CED, ABE, AED, BEC 

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄

- trójkąty ABD i ABC mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę AB i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

 S₂ + S₃ = S₂ + S₄, zatem S₃ = S₄.

- trójkąty CBD i CAD mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę CD i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

S₁ + S₄ = S₁ + S₃, zatem S₃ = S₄.

Trapez można także podzielić na romb i trójkąt równoramienny.

Post nr 476

Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)

Jak udowodnić, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola, gdy ramię trójkata to przekątna trapezu.

Udowodnij, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola powierzchni. Wiedząc, że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu, a ramiona trójkąta są równolegle do ramion trapezu. Przekątna trapezu jest równa ramieniu trójkąta.

Rozwiązanie: 

Znamy twierdzenie:

Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe 180^o tzn.: |∡BAD| + |∡BCD| = |∡ABC| + |∡ADC| = 180^o.

Post nr 475

Uzasadnij pole trapezu

Uzasadnij pole trapezu wiedząc, że jest podzielony na cztery trójkąty i znamy jedno pole trójkąta oraz stosunek przecięcia się przekątnych

W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że:
|AO| : |OC| = 5 : 1. Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72.

Źródło: Zadanie nr 31 z arkusza maturalnego próbnego matematyka poziom podstawowy grudzień 2014 r. Opracowane przez CKE Warszawa.  

Rozwiązanie

Post nr 456

Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny

Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny równa średniej geometrycznej długości podstaw trapezu

 

Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

Rozwiązanie:

- jeżeli a i b są długościami podstaw trapezu równoramiennego, to ponieważ w trapez równoramienny można wpisać okrąg to spełniony jest warunek, że: |AB|+|CD|=|AD|+|BC|
- ponadto długość odcinka |AE| jest średnią arytmetyczną różnicy długości podstaw trapezu równoramiennego tj. |AE|=(a-b)/2 - w trójkącie AED korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość odcinka |ED|, gdzie jest to wysokość trapezu a także średnica okręgu wpisanego w ten trapez

- odcinek KL jest równy długości średnicy okręgu wpisanego w trapez równoramienny ABCD, zatem |KL|=|ED|=√ab.
Udowodniliśmy, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny jest równa średniej geometrycznej długości podstaw tego trapezu a promień jest średnią arytmetyczną średniej geometrycznej długość podstaw tego trapezu.

Post nr 430

Pole trójkąta utworzonego przez środki kwadratów

Pole trójkąta utworzonego przez środki kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego równoramiennego DEF

 

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego, równoramiennego o przyprostokątnej długości 4, zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta. Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole otrzymanego trójkąta.

Rozwiązanie: 

- obliczamy pole kwadratu AFDE o boku długości 4

- wyznaczamy wzór na pole kwadratu (deltoidu) AFDE o przekątnych długości EF i AD

- z równości tych pól wyznaczamy długość h

- wyznaczamy wzór na pole trójkąta ABC i jego pole.

Otrzymaliśmy własność, że pole trójkąta ABC jest równe polu kwadratu AFDE.

 

Jeżeli pole trójkąta ABC jest równe polu kwadratu AFDE, to można wykazać z równości tych pól, że dzieląc odpowiednio pola trójkąta i kwadratu otrzymujemy własność równości pomiędzy polami.

Post nr 426