Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Wiedząc, że a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które spełniają warunki takie, że: a²+b²=9 i a+b=1. Wyznacz wartość wyrażenia: a⁴+b⁴=?

Rozwiązanie:
Sposób I
- układy równań podnosimy do potęgi drugiej
- wyznaczamy zależności ab=-4, a⁴+b⁴=81-2a²b² z układów.
- obliczamy wartość wyrażenia a⁴+b⁴.

Sposób II
- sprowadzamy lewą stronę układów równań do wzoru na kwadrat dwumianu (wzór skróconego mnożenia) a²+b²=(a²+2ab+b²)-2ab, a⁴+b⁴=[(a²)²+2a²b²+(b²)²]-2a²b²
- wyznaczamy zależność ab=-4 z układu a²+b²=9.
- obliczamy wartość wyrażenia a⁴+b⁴.

Sposób III
- rozwiązujemy układ równań dowolną metodą: podstawiania
- wyznaczamy wartości a, b z równania kwadratowego
- obliczamy wartość wyrażenia a⁴+b⁴, wiedząc, że: a⁴+b⁴=(a²)²+(b²)².




Sprawdzenie układu równań:





Ilustracja graficzna rozwiązania układu równań:

Post nr 477

Pola trójkątów w trapezie równoramiennym

Jak obliczyć pola trójkątów w trapezie równoramiennym wyznaczone poprzez jego przekątne?

Pole trapezu równoramiennego jest równe 36, a stosunek długości podstaw wynosi 1:2. Oblicz pola czterech trójkątów, na które dzielą ten trapez jego przekątne. 

Rozwiązanie:

- oznaczamy pola trójkątów CED, ABE, AED, BEC odpowiednio S₁, S₂, S₃, S₄
- pole S trapezu ABCD jest równe sumie pól trójkątów CED, ABE, AED, BEC 

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄

- trójkąty ABD i ABC mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę AB i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

 S₂ + S₃ = S₂ + S₄, zatem S₃ = S₄.

- trójkąty CBD i CAD mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę CD i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

S₁ + S₄ = S₁ + S₃, zatem S₃ = S₄.

Trapez można także podzielić na romb i trójkąt równoramienny.

Post nr 476