Pokazywanie postów oznaczonych etykietą Podobieństwo. Pokaż wszystkie posty

Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona

Post nr 500

Podział przeciwprostokątnej względem wysokości w trójkącie

Trójkąt prostokątny, podobieństwo

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy większa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątna dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy większy od drugiego.

Post nr 487

Stożki podobne

Skala podobieństwa stożków podobnych

Stożek o wysokości 4 i polu powierzchni 24∏ jest podobny do stożka o tworzącej 20. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

- wyznaczamy długość promienia stożka podobnego korzystając z równości kwadratu tworzącej w oparciu o Twierdzenie Pitagorasa i kwadratu tworzącej wyznaczonej z pola całkowitego stożka podobnego
- obliczamy długość tworzącej stożka podobnego
- wyznaczamy skalę k podobieństwa stożków k=1/4
- wyznaczamy kwadrat długości promienia stożka r₂² i długość wysokości H₂ stożka

- obliczamy objętość stożka.

Post nr 482

Pola trójkątów w trapezie równoramiennym

Jak obliczyć pola trójkątów w trapezie równoramiennym wyznaczone poprzez jego przekątne?

Pole trapezu równoramiennego jest równe 36, a stosunek długości podstaw wynosi 1:2. Oblicz pola czterech trójkątów, na które dzielą ten trapez jego przekątne.

Rozwiązanie:

- oznaczamy pola trójkątów CED, ABE, AED, BEC odpowiednio S₁, S₂, S₃, S₄
- pole S trapezu ABCD jest równe sumie pól trójkątów CED, ABE, AED, BEC

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄

- trójkąty ABD i ABC mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę AB i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

S₂ + S₃ = S₂ + S₄, zatem S₃ = S₄.

- trójkąty CBD i CAD mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę CD i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

S₁ + S₄ = S₁ + S₃, zatem S₃ = S₄.

Trapez można także podzielić na romb i trójkąt równoramienny.

Post nr 476

Walec wpisany w stożek

Obliczanie promienia podstawy walca wpisanego w stożek

W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi 4/9 objętości stożka.

Rozwiązanie:

- rysujemy przekrój osiowy stożka i oznaczamy przez H i r wysokość i promień podstawy walca
- zauważmy, że trójkąty ACF i AOS są podobne. Korzystając z tego podobieństwa otrzymamy proporcję, że: |AC|/|CF|=|AO|/|OS|. Wyznaczamy długość wysokości walca.
- korzystając z informacji, że objętość walca stanowi 4/9 objętości stożka wyznaczamy długość promienia podstawy walca. Po przekształceniu otrzymujemy równanie trzeciego stopnia, które rozwiązujemy stosując odpowiednie grupowanie wyrazów.
- zatem jedynym rozwiązaniem równania jest 4, zatem promień podstawy walca ma długość 4.