Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze, które łączy ze sobą równanie dwukwadratowe, kwadratowe, pierwiastkowe i wielomianowe

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania wykładniczego.

Rozwiązanie:

Na podstawie podanego równania wykładniczego pokazuję, że matematyka ma strukturę hierarchiczną. Oto przykład, który łączy ze sobą takie tematy jak: równanie dwukwadratowe z wprowadzeniem pomocniczej t, równanie kwadratowe,  równanie pierwiastkowe, równanie wielomianowe - grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia.

Etapy rozwiązywania zadania:

- wyznaczany dziedzinę
- podstawę potęgi po lewej stronie równania wykładniczego sprawdzamy do kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, po uwzględnieniu warunków zadania otrzymaliśmy układ równań, który należy przekształcić do postaci równania dwukwadratowego i wprowadzić niewiadomą t podstawiając za a²

- dwie potęgi są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe podstawy i równe wykładniki, otrzymaliśmy równanie aⁿ=a^m, zatem n=m

- równanie pierwiastkowe składa się z pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia dlatego, żeby obliczyć x należy pierwiastki sprowadzić do tego samego stopnia, dwa pierwiastki tego samego stopnia są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe liczby podpierwiastkowe
- równanie wielomianowe rozwiązujemy stosując grupowanie wyrazów
- sprawdzamy wyznaczone wartości x z dziedziną określając liczbę rozwiązań równania.

 

 Wykres online

Post nr 382

Układ równań

Układ równań trzeciego stopnia z dwiema niewiadomymi

Znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania układu równań trzeciego stopnia z dwiema niewiadomymi.

{(x³ - y³)/(x – y) = 19
{(x³ + y³)/(x + y) = 7

Rozwiązanie:

- liczniki układów równań przekształcamy do postaci iloczynowej rozkładając różnicę sześcianów x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) i sumę sześcianów x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

- otrzymaliśmy te same czynniki, zatem układy skracamy przy określonym założeniu otrzymując postać uproszczoną (x² + xy + y²) i (x² - xy + y²)

- dodajemy otrzymane układy równań otrzymując układ 2x² + 2y² 

- odejmujemy otrzymane układy równań otrzymując układ 2xy

- rozwiązujemy otrzymane układy równań metodą podstawiania

- otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe dlatego wprowadzamy pomocniczą t, gdzie x²= t, przy założeniu, że t≥0

- obliczamy x i y.

Ilustracja graficzna

 Wykres online
 

Post nr 376

Równanie dwukwadratowe

Równania dwukwadratowe i wielokwadratowe

Równanie dwukwadratowe, czterokwadratowe i wielokwadratowe, które można  rozłożyć na czynniki, rozwiązujemy poprzez zastosowanie niewiadomej pomocniczej t na dwa sposoby.

 

Przykład: x⁴-10x+9=0

I sposób: 

II sposób: 

Przykład: x⁸-17x+16=0

I sposób: 

 II sposób:

Post nr 314