Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z pierwiastkami czwartego stopnia

Wyznacz rozwiązanie równania pierwiastkowego z pierwiastkami czwartego stopnia. 

Rozwiązanie:

- przekształcamy równanie do prostszej postaci

- wprowadzamy pomocniczą t za pierwiastek czwartego stopnia z liczby x

- wyznaczamy rozwiązania równania kwadratowego

- wyznaczamy rozwiązania równania pierwiastkowego

- sprawdzamy rozwiązania równania pierwiastkowego

Wykres online

 

Post nr 494

Równanie z podwójną wartością bezwzględną

Równanie pierwiastkowe z jedną niewiadomą

Rozwiąż równanie pierwiastkowe w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:
W podanym zadaniu należy rozwiązać:
- równanie pierwiastkowe z wprowadzeniem zmiennej pomocniczej t
- równanie liniowe z podwójną wartością bezwzględną
- podwójną nierówność z wartością bezwzględną
- równanie liniowe z wartością bezwzględną
- nierówność liniową z wartością bezwzględną.

II sposób rozwiązania dla 20. 
Wiemy, że t≥0 dla x∈<-5/3, +∞). Zatem dla x∈(-5/3, +∞) moduł jest zawsze dodatni. Nierówność podwójną można rozwiązać w następujący sposób:

 Wykres online

Zobacz także jak rozwiązać równanie liniowe z czterema wartkościami bezwzględnymi w wartości bezwzględnej.

Post nr 488

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z pierwiastkami kwadratowymi

 

Wyznacz zbiór rozwiązań równania pierwiastkowego.

Rozwiązanie:

- wyznaczamy dziedzinę D: x≥1
- wyrażenie pod pierwiastkami sprowadzamy do kwadratu sumy lub kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Należy pamiętać, żeby uwolnić się od symbolu pierwiastka kwadratowego, to lewą i prawą stronę równania podnosimy do kwadratu lub wyrażenie pod pierwiastkiem sprowadzamy do kwadratu sumy lub kwadratu różnicy dwóch wyrażeń
- sprowadzamy równanie do prostszej postaci uwalniając się od symbolu głównego pierwiastka, zatem równanie przyjmuje postać |√(x-1)-2| + ||√(x-1)-3| = 1
- wyznaczmy miejsca zerowe dla poszczególnych modułów |√(x-1)-2|=0 <=> x=5 i |√(x-1)-3|=0<=>x=10
- wyznaczamy rozwiązania równania w zależności od znaku modułu w otrzymanych dwóch przedziałach każdego modułu w sumie z określoną dziedziną
- suma rozwiązań z podanych przedziałów jest rozwiązaniem danego równania, zatem x∈<5, 10>.

 

 Wykres online



Post nr 450

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi

Rozwiąż równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi w zbiorze liczb rzeczywistych.


Rozwiązanie:
I sposób
W rozwiązaniu równaniu równania pierwiastkowego skorzystano z:
- równania pomocniczego dla x = 2 cost
- funkcji kąta podwojonego dla sinusa
- kwadratu funkcji sinus
- kwadratu funkcji cosinus
- jedynki trygonometrycznej, która ma postać: sin²α +cos²α =1
- sumy funkcji trygonometrycznych sinusa i cosinusa.

 Wy




Wykres online

II sposób

Równanie pierwiastkowe doprowadzamy do równania wielomianowego ósmego stopnia i korzystając z metody Newtona wyznaczmy przybliżone pierwiastki równania.

Post nr 444

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia

 

Rozwiązanie równania:
I sposób
- wyznaczamy dziedzinę równania z założenia, że wartość pod pierwiastkiem drugiego stopnia jest zawsze większa lub równa 0. Otrzymujemy równanie wykładnicze, w tym przypadku porównujemy wykładniki oraz skorzystamy z faktu, że w tym zadaniu funkcja jest malejąca a=2/3 (0<a<1), zatem (x₁<x₂ <=>a^x₁<a^x₂) opuszczając podstawę, zmieniamy znak nierówności między wykładnikami na przeciwny. Zatem D: x≤0
- pozbywamy się znaku pierwiastka kwadratowego z wartości wyrażenia po prawej stronie, podnosząc obustronnie równanie do kwadratu. Po uwolnieniu się od pierwiastka kwadratowego wynika, że wyrażenie po prawej stronie równania jest zawsze większe lub równe 0 dla każdego x≤0
- otrzymaliśmy równanie wykładnicze w  którym stosujemy wzór skorconego mnożenia na kwarta różnicy. Doprowadzamy równanie do najprostszej postaci.
- wprowadzamy pomocniczą t za wartość wyrażenia (2/3)^x, gdzie z założenia t>0
- równanie wykładnicze sprowadziliśmy do równania kwadratowego względem t, obliczamy pierwiastki równania kwadratowego i przyjmujemy t>0 jako rozwiązania naszego równania pomocniczego.
- wyznaczamy rozwiązania równania wykładniczego z równań pomocniczych sprawdzając, która z otrzymanych wartości należy do dziedziny.
- sprawdzamy równanie dla otrzymanych wartości x stwierdzając, że L=P po podstawieniu tej wartości do równania wyjściowego. Równanie posiada dwa rozwiązania. 

Sprawdzenie rozwiązania równania:

Wykres funkcji i wartości logarytmów

II sposób

Post nr 443

Układ równań z pierwiastkami

Układ równań z pierwiastkami drugiego i trzeciego stopnia

 

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.

Rozwiązanie:

- wprowadzamy pomocniczą u i v odpowiednio za wartości  ∛(x+y)=u i √(x-y)=v, otrzymamy postać zredukowaną układu równań z założeniem, że x-y≥0
- z otrzymanego układu równań obliczmy wartości u=2 i v=2,
- otrzymane wartości podstawiamy do naszego pomocniczego układu równań
{∛(x+y)=u
{√(x-y)=v i wyznaczamy dla jakich wartości (x, y) układ równań posiada rozwiązanie
- jedynym rozwiązaniem układu równań jest para liczb (x, y)=(6, 2), zatem sprawdzamy układ równań. 

Wykres online 

Post nr 432