Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Dla jakiego a równość jest prawdziwa?


Rozwiązanie:

Rozwiązać należy równanie kwadratowe z niewiadomą a. Jeśli równanie rozwiążemy I sposobem, to otrzymamy tylko jedno rozwiązanie bo trudno zauważyć, że istnieje drugie. Sposób I sprowadza się do przedstawienia rozwinięcia wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Jeśli równanie rozwiążemy II sposobem, to otrzymamy dwa rozwiązania.

Zatem równanie posiadam dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. 

Post nr 485

Równanie z modułem

Równanie wymierne z wartością bezwzględną

 

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania z wartością bezwzględną w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

- doprowadzamy równanie do prostszej postaci, które jest równorzędne do danego równania

- wyznaczamy dziedzinę D: x∈R\{-1}

- obliczamy miejsce zerowe modułu x= 1

- z definicji  wartości bezwzględnej mamy wartości, które należy podstawić do naszego równania w badanym przedziale
- rozwiązujemy równanie

- sprawdzamy rozwiązanie równianina z dziedziną i w badanym przedziale.

I sposób

II sposób

Wykres online

Post nr 458

Układ równań

Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi

 

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

- z pierwszego układu równań wyznaczamy wartości x wtedy i tylko wtedy, gdy dwie potęgi są sobie równe.  Dwie potęgi są sobie równe, gdy mają równe podstawy i równe wykładniki, zatem porównując stronami podstawy i wykładniki potęg otrzymamy z pierwszego układu równanie kwadratowe x² + 7x + 12 = 0, z którego wyznaczamy jego pierwiastki.
- gdy y=1, to podstawy potęgi w pierwszym układzie po obu stronach są sobie równe, zatem wyznaczamy dla jakiego x i sprawdzamy czy spełnia warunki zadania
- gdy y=-1, to podstawa potęgi w pierwszym układzie po lewej stronie podniesiona tylko do parzystej potęgi jest równa 1, zatem wyznaczamy dla jakiego x i sprawdzamy czy spełnia warunki zadania.

Wykres online

Post nr 431

Równanie wymierne z pierwiastkami

Równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia

 

Rozwiąż równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia.


Rozwiązanie:

- wyznaczamy dziedzinę pamiętając, że wyrażenie pod pierwiastkiem drugiego stopnia przyjmuje tylko wartość większą lub równą 0 i wyrażenia w mianownikach ułamków są różne od 0
- sprowadzamy lewą stronę równania wymiernego do wspólnego mianownika, w licznikach stosujemy wzór na kwadrat dwumianu, wynika z własności mnożenia potęg o tych samych podstawach c · c = c²,   d · d = d²
- korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub różnicy tj.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b², oraz doprowadzamy liczniki ułamków do najprostszej postaci poprzez redukcję wyrazów podobnych

- zapisujemy wyrażenie wymierne po lewej stronie w postaci jednego ułamka
- mianownik ułamka przekształcamy do postaci różnicy kwadratów dwóch a² - b²

- doprowadzamy wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka do najprostszej postaci poprzez redukcję wyrazów podobnych
- skracamy ułamki bo wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka mają wspólny czynnik 4(x+ 2) z założeniem, że nie dzielimy przez 0 i obliczamy x (I sposób)
- korzystamy z metody proporcji, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych i obliczamy x (II sposób)
- sprawdzamy obliczoną wartość x z dziedziną.

Sprawdzamy rozwiązanie równania wymiernego dla x = 2 porównując lewą i prawą stronę równia poprzez podstawienie rozwiązania w miejsce niewiadomej x.

Post nr 423

Równanie kwadratowe z logarytmami

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania kwadratowego z logarytmami. 

Rozwiązanie:
- lewą stroną równania doprowadzamy do najprostszej postaci korzystając z własności logarytmów
- obliczamy pierwiastki równania kwadratowego.

I sposób

II sposób

Ilustracja graficzna rozwiązania równania.

Post nr 412 

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z pierwiastkami drugiego stopnia

Wyznacz wszystkie możliwe pierwiastki równania pierwiastkowego. Oblicz wszystkie możliwe rozwiązania równania  pierwiastkowego z pierwiastkami drugiego stopnia.

Rozwiązanie:

- wyznaczamy dziedzinę równania pierwiastkowego (wartość pod pierwiastkami drugiego stopnia w liczniku i mianowniku ułamka musi być większa lub równa 0 dla każdego pierwiastka i mianownik ułamka jest różny od 0)

- równanie przekształcamy do postaci iloczynowej mnożąc mianownik ułamka przez 5

- po przekształceniu redukujemy wyrazy podobne

- otrzymaliśmy równanie zawierające po lewej i prawej stronie wyrażenia pod pierwiastkiem drugiego stopnia dlatego uwalniamy się od pierwiastków podnosząc jednocześnie strony do potęgi drugiej

- wyrażenia podpierwiastkowe są sobie równa dla x = -2,4 lub x = 5

- sprawdzamy czy rozwiązaniem równania są liczby -2,4 lub 5, to należą do wyznaczonej dziedziny

Dziedzina równania

Rozwiązanie równania

Rozwiązanie graficzne (pierwiastkami równania są te argumenty dla których funkcje przyjmują równe wartości, wykresy przecinają się w odpowiednim punkcie).

Sprawdzenie równania pierwiastkowego w sposób porównania strony lewej z prawą po podstawieniu w miejsce x otrzymanych wartości, dla x = -2,4 i x = 5.

 Wykres online

Post nr 396

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze, które łączy ze sobą równanie dwukwadratowe, kwadratowe, pierwiastkowe i wielomianowe

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania wykładniczego.

Rozwiązanie:

Na podstawie podanego równania wykładniczego pokazuję, że matematyka ma strukturę hierarchiczną. Oto przykład, który łączy ze sobą takie tematy jak: równanie dwukwadratowe z wprowadzeniem pomocniczej t, równanie kwadratowe,  równanie pierwiastkowe, równanie wielomianowe - grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia.

Etapy rozwiązywania zadania:

- wyznaczany dziedzinę
- podstawę potęgi po lewej stronie równania wykładniczego sprawdzamy do kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, po uwzględnieniu warunków zadania otrzymaliśmy układ równań, który należy przekształcić do postaci równania dwukwadratowego i wprowadzić niewiadomą t podstawiając za a²

- dwie potęgi są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe podstawy i równe wykładniki, otrzymaliśmy równanie aⁿ=a^m, zatem n=m

- równanie pierwiastkowe składa się z pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia dlatego, żeby obliczyć x należy pierwiastki sprowadzić do tego samego stopnia, dwa pierwiastki tego samego stopnia są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe liczby podpierwiastkowe
- równanie wielomianowe rozwiązujemy stosując grupowanie wyrazów
- sprawdzamy wyznaczone wartości x z dziedziną określając liczbę rozwiązań równania.

 

 Wykres online

Post nr 382

Układ równań

Układ równań z okręgiem i prostą symetrycznymi względem osi OY

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań.

Rozwiązanie:
Wyznaczamy wszystkie możliwe rozwiązania układu równań względem modułu w dwóch przedziałach (przedziały wyznacza miejsce zerowe modułu |x|). Miejscem zerowym modułu jest 0, zatem w przedziale xϵ(-∞, 0) moduł jest ujemny |x| = -x, w przedziale xϵ<0,+∞) moduł jest dodatni |x| = x.

Uwzględniając powyższe przedziały i znak modułu wyznaczamy rozwiązania układów równań. 

Ilustracja graficzna:
Ilustracją graficzną układu równań {(|x|-2)^² + (y-3)² = 4 są dwa okręgi, które powstają z następujących przekształceń względem dziedziny:
a)  Jeśli xϵ(-∞, 0), to okrąg o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego okręgu o równaniu x² + y² = 4 o 2 jednostki w lewą stronę względem osi OX i 3 jednostki w górę względem osi OY
b)  Jeśli xϵ<0,+∞), to okrąg o równaniu (x-2)²+(y-3)²=4 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego okręgu o równaniu x² + y² = 4 o 2 jednostki w prawą stronę względem osi OX i 3 jednostki w górę względem osi OY i jest symetryczny względem osi OY do okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4.

Ilustracją graficzną układu równań {y = -|x|+3 są dwie proste, które powstają z następujących przekształceń względem dziedziny:
a)  Jeśli xϵ(-∞, 0), to prosta o równaniu y = x + 3 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego prostej o równaniu y = x o 3 jednostki w górę względem osi OY
b)  Jeśli xϵ<0,+∞), to prosta o równaniu y = -x + 3 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego prostej o równaniu y = -x o 3 jednostki w górę względem osi OY i jest symetryczna względem osi OY do wykresu y = x + 3.

Rozwiązaniem układu równań są te argumenty dla których wartości są równe, wykresy przecinają się w punkcie (x, y) i są rozwiązaniem układu równań.

 Wykres online

 

Post nr 379