Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia
Rozwiązanie równania:
I sposób
- wyznaczamy dziedzinę równania z założenia, że wartość pod pierwiastkiem drugiego stopnia jest zawsze większa lub równa 0. Otrzymujemy równanie wykładnicze, w tym przypadku porównujemy wykładniki oraz skorzystamy z faktu, że w tym zadaniu funkcja jest malejąca a=2/3 (0<a<1), zatem (x₁<x₂ <=>a^x₁<a^x₂) opuszczając podstawę, zmieniamy znak nierówności między wykładnikami na przeciwny. Zatem D: x≤0
- pozbywamy się znaku pierwiastka kwadratowego z wartości wyrażenia po prawej stronie, podnosząc obustronnie równanie do kwadratu. Po uwolnieniu się od pierwiastka kwadratowego wynika, że wyrażenie po prawej stronie równania jest zawsze większe lub równe 0 dla każdego x≤0
- otrzymaliśmy równanie wykładnicze w którym stosujemy wzór skorconego mnożenia na kwarta różnicy. Doprowadzamy równanie do najprostszej postaci.
- wprowadzamy pomocniczą t za wartość wyrażenia (2/3)^x, gdzie z założenia t>0
- równanie wykładnicze sprowadziliśmy do równania kwadratowego względem t, obliczamy pierwiastki równania kwadratowego i przyjmujemy t>0 jako rozwiązania naszego równania pomocniczego.
- wyznaczamy rozwiązania równania wykładniczego z równań pomocniczych sprawdzając, która z otrzymanych wartości należy do dziedziny.
- sprawdzamy równanie dla otrzymanych wartości x stwierdzając, że L=P po podstawieniu tej wartości do równania wyjściowego. Równanie posiada dwa rozwiązania.
I sposób
- wyznaczamy dziedzinę równania z założenia, że wartość pod pierwiastkiem drugiego stopnia jest zawsze większa lub równa 0. Otrzymujemy równanie wykładnicze, w tym przypadku porównujemy wykładniki oraz skorzystamy z faktu, że w tym zadaniu funkcja jest malejąca a=2/3 (0<a<1), zatem (x₁<x₂ <=>a^x₁<a^x₂) opuszczając podstawę, zmieniamy znak nierówności między wykładnikami na przeciwny. Zatem D: x≤0
- pozbywamy się znaku pierwiastka kwadratowego z wartości wyrażenia po prawej stronie, podnosząc obustronnie równanie do kwadratu. Po uwolnieniu się od pierwiastka kwadratowego wynika, że wyrażenie po prawej stronie równania jest zawsze większe lub równe 0 dla każdego x≤0
- otrzymaliśmy równanie wykładnicze w którym stosujemy wzór skorconego mnożenia na kwarta różnicy. Doprowadzamy równanie do najprostszej postaci.
- wprowadzamy pomocniczą t za wartość wyrażenia (2/3)^x, gdzie z założenia t>0
- równanie wykładnicze sprowadziliśmy do równania kwadratowego względem t, obliczamy pierwiastki równania kwadratowego i przyjmujemy t>0 jako rozwiązania naszego równania pomocniczego.
- wyznaczamy rozwiązania równania wykładniczego z równań pomocniczych sprawdzając, która z otrzymanych wartości należy do dziedziny.
- sprawdzamy równanie dla otrzymanych wartości x stwierdzając, że L=P po podstawieniu tej wartości do równania wyjściowego. Równanie posiada dwa rozwiązania.
Sprawdzenie rozwiązania równania:
Wykres funkcji i wartości logarytmów
II sposób
Post nr 443
