Pokazywanie postów oznaczonych etykietą Logarytmy. Pokaż wszystkie posty

Rozwiązuje równania wykładnicze, stosując logarytm

Własności i działania na logarytmach

Post nr 503

Własności i działania na logarytmach

Mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie logarytmów

Sprawdź z jakich wzorów i własności można skorzystać na mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie logarytmów o tych samych i różnych podstawach.

Dowód działania 7, 8, 9, 10

Wiesz jak obliczyć x, y, z korzystając w podanych własności i działań na logarytmach?

Sprawdź

Post nr 491

Logarytm jako wyrażenie

Jak zapisać logarytm za pomocą wyrażenia?

Wiedząc, że log5=a i log3=b. Wyznacz wartość logarytmu jako wyrażenie.

Rozwiązanie:
Definicje i własności
Logarytmem dodatniej liczby b przy podstawie a jest wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, co zapisujemy następująco:

$\large \log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$

Gdzie a - podstawa logarytmu, b - liczba logarytmowana, c - wynik logarytmowania.

Przy czym, spełnione muszą być warunki $a \in R^{+} - \{ 1 \} \text{ i } b \in R^{+}$ .

Ponadto $\large \log_{a}1=0, \ \log_{a}a=1, \ a^{\log_{a}b}=b$ .

Wyróżniamy też dwa szczególne logarytmy:

Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie 10. $\log b=c \Leftrightarrow 10^{c}=b$

Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie e. $\ln b=c \Leftrightarrow e^{c}=b$

(Liczba e jest granicą ciągu nieskończonego $(1+\frac{1}{n})^{n}$ , gdy n dąży do nieskończoności i e $\approx$ 2,72.)

Prawa działań na logarytmach

Założenia dla podstaw logarytmów i liczb logarytmowanych są analogiczne z tymi u góry. Warunki dla nowych stałych zostaną przedstawione w każdym z przypadków z osobna.

:arrow:

$\large \log_{a}(b_{1}\cdot b_{2})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}$ - logarytm iloczynu

:arrow:

$\large \log_{a}\frac{b_{1}}{b_{2}} = \log_{a}b_{1}-\log_{a}b_{2}$ - logarytm ilorazu

:arrow:

$\large \log_{a}b^{m}=m\cdot \log_{a}b, \ m \in \mathbb{R}$ - logarytm potęgi

:arrow:

$\large \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_c{a}} \\ \phantom{MMMMM} ^{\nwarrow}_{\swarrow} \mbox{ zmiana podstawy logarytmu}$
:arrow:

$\large \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}, \ a, b \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$

Z ostatnich własności wynika również wzór:

:arrow:

$\log_{a} b \cdot \log_{c} d = \log_{a} d \cdot \log_{c} b$

Post nr 477

Równanie kwadratowe z logarytmami

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania kwadratowego z logarytmami.

Rozwiązanie:
- lewą stroną równania doprowadzamy do najprostszej postaci korzystając z własności logarytmów
- obliczamy pierwiastki równania kwadratowego.

I sposób

II sposób

Ilustracja graficzna rozwiązania równania.

Post nr 412

Mnożenie logarytmów

Mnożenie logarytmów o różnych podstawach

W podanych działaniach będziemy korzystać z następującego wzoru z mnożeniem logarytmów o różnych podstawach: log_n(b) • log_m(c) = log_m(b) • log_n(c). Czynniki dobieramy odpowiednio tak, żeby można było obliczyć wartość logarytmów wiedząc, że pomiędzy tymi logarytmami zachodzi powyższy związek. Oblicz: log_4(6) • log_7(25) • log_36(16) • log_5(49) = x, log_8(9) • log_3(64) • log_5(121) • log_11(125) = y, log_2(343) • log_81(169) • log_7(8) • log_13(9) = z.

Oblicz wartość wyrażenia x, y, z wykonując działania z mnożeniem logarytmów o różnych podstawach a następnie oblicz wartość wyrażenia A.

Rozwiązanie:

W podanych działaniach będziemy korzystać z następującego wzoru z mnożeniem logarytmów o różnych podstawach:

$\LARGE log_nb\cdot log_mc=log_mb\cdot log_nc$

Czynniki dobieramy odpowiednio tak, żeby można było obliczyć wartość logarytmów wiedząc, że pomiędzy tymi logarytmami zachodzi powyższy związek.

Zobacz także jak można mnożyć logarytmy o różnych podstawach jeśli pomiędzy nimi zachodzi związek (więcej).

$\LARGE log_ab \cdot log_bc=log_ac$

Rozwiązanie w kalkulatorze graficznym. Kliknij na kalkulator w okienku.

Sprawdź

Post nr 370

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze z logarytmami naturalnymi czyli przy podstawie z liczby e

Rozwiąż równanie wykładnicze z logarytmami naturalnymi (Nepera, hiperbolicznymi) czyli przy podstawie z liczby e w zbiorze liczb rzeczywistych.

Równanie wykładnicze, to takie w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) jest to logarytm przy podstawie e ≈ 2,71828128, oznaczamy na ogół symbolem (ln). Liczba e zwana jest liczbą Eulera. Nazwa logarytm Nepera pochodzi od szkockiego matematyka Johna Nepera, który korzystał z logarytmów o podstawie zbliżonej do 1/e.

Rozwiązanie:

1. Wyznaczamy dziedzinę

2. Sprowadzamy potęgi do tych samych podstaw (dwie potęgi są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe podstawy i równe wykładniki)

3. Korzystamy z równości potęg i porównujemy wykładniki
4. Korzystamy z równości logarytmów (dwa logarytmy są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe podstawy i równe liczby logarytmowane)
5. Wyznaczamy x z otrzymanego równania.

Post nr 369

Strony

Szukaj na tym blogu

Rozwiązuje równania wykładnicze, stosując logarytm

Własności i działania na logarytmach

Logarytm jako wyrażenie

Jak zapisać logarytm za pomocą wyrażenia?

Równanie kwadratowe z logarytmami

Równanie kwadratowe z logarytmami

Mnożenie logarytmów

Mnożenie logarytmów o różnych podstawach

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze z logarytmami naturalnymi czyli przy podstawie z liczby e

Wesprzyj | Donate

Translate