Równanie i nierówność liniowa z podwójną wartością bezwzględną

Równanie i nierówność z podwójną wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie liniowe z jedną niewiadomą i nierówność liniową z jedną niewiadomą z podwójną wartością bezwzględną.

1. ||x-5|-2|=1
2. ||x-5|-2|<1
3. ||x-5|-2|>1

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej
1. |x|=a <=> x=a  ∨ x=-a
2. |x|<a <=> x<a  ∧ x>-a
3. |x|>a <=> x>a  ∨ x<-a

Wykres online

   

Post nr 490

Równanie z podwójną wartością bezwzględną

Równanie pierwiastkowe z jedną niewiadomą

Rozwiąż równanie pierwiastkowe w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:
W podanym zadaniu należy rozwiązać:
- równanie pierwiastkowe z wprowadzeniem zmiennej pomocniczej t
- równanie liniowe z podwójną wartością bezwzględną
- podwójną nierówność z wartością bezwzględną
- równanie liniowe z wartością bezwzględną
- nierówność liniową z wartością bezwzględną.

II sposób rozwiązania dla 20. 
Wiemy, że t≥0 dla x∈<-5/3, +∞). Zatem dla x∈(-5/3, +∞) moduł jest zawsze dodatni. Nierówność podwójną można rozwiązać w następujący sposób:

 Wykres online

Zobacz także jak rozwiązać równanie liniowe z czterema wartkościami bezwzględnymi w wartości bezwzględnej.

Post nr 488

Nierówność wykładnicza i logarytmiczna

Nierówność wykładnicza i logarytmiczna w układzie

Jak można rozwiązać nierówność wykładniczą i logarytmiczną podając część wspólną zbioru rozwiązań podanych nierówności?

3^4x-1 + 3^4x+1 ≥ 80  i log_(^x/₂)(4x² - 3x + 1) ≥ 0.

Przedstawiam etapy rozwiązania zadania.

Rozwiązanie:
Nierówność wykładnicza
W podanej nierówności wykładniczej zbiór rozwiązań można wyznaczyć na trzy sposoby.

Nierówność logarytmiczna

W podanej nierówności logarytmicznej należy rozpatrzyć dwa warunki w podstawie logarytmu. Pierwszy warunek, to podstawa logarytmu należy do przedziału (0, 1), drugi warunek, to podstawa logarytmu należy do przedziału (1, +∞) z określeniem dla jakich x.
Należy pamiętać, że sprowadzając logarytmy do tej samej podstawy, z definicji logarytmu funkcja jest malejąca jeśli podstawa logarytmu należy do przedziału (0, 1). Znak między liczbami logarytmowanymi zmieniamy wtedy na przeciwny, po obustronnym logarytmowaniu. 

Wyznaczając zbiór rozwiązań podanych nierówności zapisanych w układzie, należy wyznaczyć część wspólną zbioru podanych rozwiązań.

Post nr 350

Nierówność wielomianowa

Ze zbioru rozwiązań nierówności wyznacz średnią arytmetyczną pierwiastków naturalnych. Następnie sprawdź czy kwadrat najmniejszego dzielnika pierwiastka arytmetycznego różnego od 1 dzieli kwadrat największego dzielnika pierwiastka arytmetycznego różnego od danego pierwiastka arytmetycznego.

Obliczamy pierwiastki wielomianu z uwzględnieniem krotności (w nawiasie):
x+2010=0               
x=-2010⁽²⁰¹⁰⁾
lub
x-2011=0
x=2011⁽²⁰¹¹⁾
lub
x+2012=0

x=-2012⁽²⁰¹²⁾

lub
x-2013=0
x=2013

Zaznaczamy pierwiastki na wykresie i wyznaczamy zbiór rozwiązań:

Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział liczbowy lewo i prawostronnie domknięty (ograniczony z dołu i góry) 
<2011, 2013>

Pierwiastki naturalne należące do zbioru rozwiązać nierówność {2011, 2012, 2013}

Średnia arytmetyczna tych pierwiastków wynosi:
(2011+2012+2013):3=2012

Szukamy dzielników pierwiastka arytmetycznego:
D₂₀₁₂ = {1, 2, 4, 503, 1006, 2012}  

Następnie wyznaczamy kwadraty najmniejszego dzielnika różnego od 1

2²=4

oraz kwadrat największego dzielnika różnego od danego pierwiastka arytmetycznego

1.006²=1.012.036

Sprawdzamy czy liczba 1.012.036 dzieli się przez 4, zatem 4|1.012.036.

Post nr 73