Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu liczbowego, ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego

Monotoniczność ciągu: 

Ponieważ ciągi są funkcjami, więc analogicznie jak w przypadku funkcji możemy badać monotoniczność ciągów, korzystając z definicji funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej, stałej.

Ciąg (a_n) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego. 

Dla każdego nϵN₁   a_n+1 > a_n => a_n+1 – a_n > 0. 

Ciąg (a_n) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedzającego. 

Dla każdego nϵN₁    a_n+1 < a_n => a_n+1 – a_n < 0. 

Ciąg (a_n) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz jest równy (identyczny).  

Dla każdego nϵN₁   a_n+1 = a_n => a_n+1 – a_n = 0. 

Ciąg (a_n) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy lub równy od wyrazu poprzedzającego.  

Dla każdego nϵN₁   a_n+1 ≥ a_n => a_n+1 – a_n ≥ 0. 

Ciąg (a_n) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy lub równy od wyrazu poprzedzającego.  

Dla każdego nϵN₁  a_n+1 ≤ a_n => a_n+1 – a_n ≤ 0. 

Ciąg (a_n) nazywamy monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest niemalejący lub nierosnący.

Ciąg (a_n) nazywamy ściśle (silnie) monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnący, malejący lub stały.

Przykłady:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu (a_n), to należy wykazać różnicę a_n+1 – a_n. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny a_n+1 danego ciągu (a_n).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę a_n+1 – a_n. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanej różnicy oraz, że nϵN₁.

Jeśli otrzymana różnica nie jest jednoznaczna (nie ma stałego znaku), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem monotonicznym (jest niemonotoniczny). 

Monotoniczność ciągu arytmetycznego: 
Wyznaczyć monotoniczność ciągu arytmetycznego (a_n), to należy wykazać różnicę a_n+1 – a_n = r, różnica r w ciągu arytmetycznym jest stała [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny a_n+1 danego ciągu (a_n).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę a_n+1 – a_n. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanej różnicy.

Ciąg arytmetyczny Podstawowe wzory i własności ciągu (więcej)
a₁>0	Monotoniczność	a₁<0
r>0 a₁=4, r=2 Ten ciąg to: 4, 6, 8, ...	Rosnący an+1>an an+1-an>0	r>0 a₁=-4, r=2 Ten ciąg to: -4, -2, 0, ...
r<0 a₁=4, r=-2 Ten ciąg to: 4, 2, 0, ...	Malejący an+1<an an+1-an<0	r<0 a₁=-4, r=-2 Ten ciąg to: -4,-6, -8, ...
r=0 a₁=4, r=0 Ten ciąg to: 4, 4, 4, ...	Stały an+1=an an+1-an=0	r=0 a₁=-4, r=0 Ten ciąg to: -4, -4, -4, ...

Jeśli otrzymana różnica nie jest stała (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. 

Przykłady:

Monotoniczność ciągu geometrycznego: 
Wyznaczyć monotoniczność ciągu geometrycznego (a_n), to należy wykazać iloraz a_n+1/a_n = q, iloraz q w ciągu geometrycznym jest stały [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny a_n+1 danego ciągu (a_n).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy iloraz a_n+1/a_n = q. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanego ilorazu oraz a₁.

Ciąg geometryczny Podstawowe wzory i własności ciągu (więcej)
a₁>0	Monotoniczność	a₁<0
q>1 a₁=4, q=2 Ten ciąg to: 4, 8, 16, ...	Rosnący	0<q<1 q = ułamek a₁=-4, q=½ Ten ciąg to: -4, -2, -1, ...
0<q<1 q = ułamek a₁=4, q=½ Ten ciąg to: 4, 2, 1, ...	Malejący	q>1 a₁=-4, q=2 Ten ciąg to: -4, -8, -16, ...
q=1 a₁=4, q=1 Ten ciąg to: 4, 4, 4, ...	Stały	q=1 a₁=-4, q=1 Ten ciąg to: -4, -4, -4, ...
q=0 a₁=4, q=0 Ten ciąg to: 4, 0, 0, ...	Stały od wyrazu drugiego (ciąg liczbowy może być monotoniczny od dowolnego wyrazu) a₁≠0, q=0 Ten ciąg to: a₁, 0, 0, 0, ... jest ciągiem geometrycznym.	q=0 a₁=-4, q=0 Ten ciąg to: -4, 0, 0, ...
q<0 a₁=4, q=-2 Ten ciąg to: 4, -8, 16, ...	Naprzemienny (lub przemienny) Nie jest monotoniczny. an ·an+1<0	q<0 a₁=-4, q=-2 Ten ciąg to: -4, 8, -16, ...

Jeśli otrzymany iloraz nie jest stały (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem geometrycznym. 

Przykłady:

Ciąg arytmetyczny i geometryczny (więcej)

Post nr 501

Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500